Dimi Rangel (IME - UFBA)
A Teoria Algébrica de Conjuntos como ferramenta para fundamentações alternativas da Matemática
A Teoria Algébrica de Conjuntos foi criada na década de 90 por Joyal & Moerdijk com o intuito de gerar modelos para a Teoria Intuicionista de Conjuntos (IST). Diferente da abordagem tradicional via relação binária de pertinência, tomamos como conceitos primitivos uma operação unária e uma noção de sup. Um aspecto interessante desta abordagem é que podemos encarar as classes On e V como estruturas algébricas (ZF-álgebras) que são livres num certo contexto categorial. Por fim, faremos uma breve exposição da noção de SUR-álgebra, que consiste de uma espécie de teoria de conjuntos em que os números surreais cumprem papel semelhante ao dos ordinais na Teoria de Conjuntos usual.
Enathielle Thiala Souza de Andrade (IME - UFBA)
Jogos em Teoria dos Conjuntos, em Topologia e em Relações Binárias
Os jogos matemáticos podem ser utilizados como um interessante recurso para a investigação de propriedades Topológicas e Conjuntísticas, principalmente através da análise das estratégias de jogos. Ao considerar jogos que são intrinsecamente ligados à estrutura e propriedades de espaços topológicos, muitas questões surgem, entre elas: como as propriedades topológicas influenciam as estratégias vencedoras? E de que maneira as estratégias adotadas podem elucidar propriedades não triviais destes espaços? Exemplificando essa estreita relação entre as estratégias de jogos e propriedades topológicas, existem dois resultados amplamente conhecidos: "Um espaço topológico X é de Rothberger se, e somente se, UM não possui estratégia vencedora em G_1(X,X)" e "Um espaço topológico X é de Menger se, e somente se, UM não possui estratégia vencedora em G_{fin}(X,X)". Os jogos exploram aspectos cruciais da teoria dos conjuntos, tais como cardinalidade, ordem, árvores e o axioma da escolha. Além disso, podemos definir jogos com enunciados puramente conjuntísticos, inclusive esperamos definir jogos utilizando filtros em que a existência de estratégia vencedora caracteriza uma propriedade do filtro como ponto da extensão de Kat\check{\mbox{e}}tov de um espaço discreto. Através da noção de família dominante em relações binárias é possível estudar propriedades de interesse na topologia geral, uma vez que em algumas relações suas famílias dominantes possuem significado topológico. Existem vários jogos na literatura que são correspondentes a jogos definidos em termos de relações binárias e alguns resultados relacionados a esses jogos generalizam resultados anteriormente conhecidos, como o Teorema sobre jogos em relações binárias e a dualidade entre jogos, que generaliza argumentos de dualidade entre os jogos do ponto-aberto e Rothberger, por exemplo.
Gabriel Fernandes (ICMC - USP)
Sobre a Conjectura dos Graus de Extremos de Halin
Respondemos duas questões sobre os Graus de Extremos de Halin feitas por Stefan Geschke, Jan Kurkofka, Ruben Melcher e Max Pitz em um artigo de 2020. Serão apresentadas novas instâncias da Conjectura dos Graus de Extremos de Halin, sua relação com grandes cardinais e a hipótese dos cardinais singulares. Serão discutidos resultados sobre funções definidas na classe dos cardinais que determinam quando a conjectura é verdadeira. Esses resultados fazem parte de trabalho em andamento com Michel Gaspar.
Hendrick Maia (IME - USP)
Um Estudo sobre as Relações entre Propriedades e Entropias de Sistemas
Digamos que eu esteja considerando a entropia do lançamento de uma moeda justa, a entropia é $\log 2$, porque eu estou considerando apenas as propriedades de ser cara ou coroa da moeda, ou seja, ao final do experimento, eu terei cara ou coroa. Mas, e se além de cara e coroa, eu considerar o ângulo em que a moeda irá cair em um círculo dividido em 4 quadrantes? Nesse caso, a moeda tem 2 x 4 possíveis propriedades (estados), ou seja, em vez de eu ter no final do meu experimento apenas cara ou coroa, eu posso ter cara + 1º quadrante, cara + 2º quadrante, cara + 3º quadrante, cara + 4º quadrante, coroa + 1º quadrante, coroa + 2º quadrante, coroa + 3º quadrante, coroa + 4º quadrante. Agora a entropia é $\log(2 \times 4)$. Obviamente, eu posso dividir o círculo desse exemplo em mais quadrantes, o que irá resultar em valores diversos para a entropia do sistema. Ou seja, a entropia do sistema depende das propriedades consideradas na medição. Partindo desse arcabouço intuitivo, eu proponho duas ideias para analisar essa relação entre propriedades consideradas no sistema e a entropia do sistema. A primeira envolve extensões de Kan, e veio do fato de que é possível modelar quaisquer tipos de propriedades como limites, o que me fez olhar para a noção de informação + entropia como colimites (isso seria interessante também do ponto de vista do status ontológico da informação, ou seja, em um framework baseado nas ideias consideradas aqui, informação é o dual de propriedades). Assim, a ideia seria ter uma extensão de Kan onde Ran e Lan concordassem em quase todos os valores, menos em uma parte do espaço, que representaria justamente as transições de propriedades. A outra ideia seria usar sequências (no sentido da álgebra homológica) para medir essas transições. Isso é óbvio quando pensamos que se modelarmos um sistema como uma sequência, ela sempre será exata quando a entropia for 0. As aplicações do exposto acima são diversas, em particular, esse framework pode ser utilizado em contextos de sistemas criptográficos baseados em complexidade computacional e sistemas criptográficos baseados em teoria da informação.
Jean Cerqueira Berni (IGCE - Unesp)
Anéis C infinito de Gelfand e suas Propriedades
Nesta apresentação vamos introduzir o conceito de anel C infinito de Gelfand, mostrando algumas de suas propriedades e conexões com outros tipos de anéis C infinito.
João Paulo Cirineu (IFBA)
Ultraprodutos em Análise Funcional e ultrassomas em Topologia Geral
A definição de ultraproduto em Análise Funcional é uma adaptação da definição dada por J. Łoś, em 1955, para estruturas de primeira ordem - e foi originalmente introduzida por D. Dacunha-Castelle e J.-L. Krivine, em 1972, para estruturas de espaços normados e de Banach. Mas a restrição desta definição aos espaços Lp (p ∈ [1, +∞[) aparece anteriormente, em 1967, na tese de doutorado de Krivine - e foi dada com o objetivo principal de estabelecer uma caracterização dos reticulados de Banach que são isomorfos a um subespaço vetorial de algum espaço Lp (p ∈ [1, +∞[) por meio dos subespaços vetoriais de dimensão finita desses reticulados. Tais construções de ultraprodutos em Análise Funcional passaram a ter uma grande importância nesta área, já que se tornaram um ferramental amplamente utilizado tanto nas teorias da representabilidade finita, da dualidade, dos ideais de operadores e da aproximação local quanto na teoria isométrica dos espaços de Banach. Nesta palestra, serão apresentados, em ZF (a teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel) ou particulares extensões próprias desta última, aprimoramentos ou generalizações de resultados tanto da teoria dos ultraprodutos de espaços métricos pontuados, no contexto dos espaços pseudométricos, quanto da teoria dos ultraprodutos de espaços normados e de Banach reais ou complexos, no contexto dos espaços pseudonormados sobre subcorpos quaisquer do corpo dos números complexos. Além disso, pretende-se apresentar, no contexto dos espaços topológicos de Tychonoff em ZFC (a teoria ZF com o Axioma da Escolha), uma generalização de um resultado de estabilidade sob ultraprodutos da classe dos espaços de funções reais contínuas que estão definidas em algum espaço topológico compacto e de Hausdorff.
José G. Alvim (USP)
Q-Sets, Espaços Métricos e Completude
Q-Sets (para certos Qs, em particular com recobrimentos próprios de T) podem ser vistos como espaços métricos generalizados. Neste contexto, podemos buscar entender os paralelos para Q-sets das noções de convergência sequencial ou de *nets*, e noções métricas como completude. Propomos que a completude de Cauchy de um espaço métrico é uma instância particular de uma propriedade conhecida como completude de Scott, de grande importância para o estudo de feixes sobre locales/álgebras de Heyting como Ω-sets qua Denis Higgs.
Sobre um espaço métrico (X,d) podemos definir a noção de sequência de Cauchy que temos por familiar. Familiar também é o espírito da sua definição, que nos é informado pela noção de completude: As sequências de Cauchy são justamente estas que deveriam ter limites (únicos), cuja a ausência é uma espécie de defeito que pode ser retificado através de uma construção universal: o seu completamento. Dito de outra forma, uma sequência de Cauchy é uma representação (não-única) de um ponto ideal cuja presença é esperada, porém não garantida. Desta maneira, podemos reformular a ideia de sequência de Cauchy de maneira mais funcional: tome uma tal (x_n)_{n\in IN} e defina
\sigma(y) = \inf_n\sup_{m ≤ n} d(x_m, y)
que é a quantidade medindo quão distante y está de ser limite da sequência dada. Evidentemente \sigma(y) = 0 exatamente quando a sequência converge para y. E se estendermos de maneira natural a noção de distância entre pontos para uma de distância entre pontos e pontos ideais (aqui representados por sequências de Cauchy) podemos nos perguntar o valor natural de \sigma(x_\bullet):
\sigma(x) = \inf_n\sup_{m ≥ n} d(x_m, x) = \inf_n\sup_{m ≥ n}\inf_{u}\sup_{v ≥ u} d(x_m,x_v)
Que pela condição de Cauchy é exatamente 0. Isso, portanto, indica a existência de uma versão não-sequencial de pontos idealizados. Quando trocamos IR por um quantale suficientemente bem comportado, ainda é possível definir sequências de Cauchy e, ainda, esta versão não-sequencial que aludimos anteriormente ocorrem de ser instâncias de “Singletons”, que são de fato os representantes de pontos ideais neste contexto. Um singleton é dito “representado” quando de fato existe um (único) ponto que “está no lugar para qual o mesmo aponta” (formalmente, quando existir um x tal que \sigma(y) = \delta(x,y) para todo y). É possível mostrar que uma sequência de Cauchy converge para um determinado ponto exatamente quando o singleton por ela induzido é representado por aquele mesmo ponto. Em geral existem, claro, muito mais singletons que sequências de Cauchy. Mesmo no caso particular de espaços métricos, eles não estão em perfeita correspondência (especificamente, sempre existe um singleton nulo, que aponta para–vulgarmente–o meio do nada: um “ponto” que dista infinito de todo o espaço, inclusive si mesmo). Mas com esta excessão, se prova a regra: para IR, de fato um singleton ou é nulo ou vêm de uma sequência de Cauchy. A relevância do ponto vácuoso é de natureza categórica/cabalística, mas é razoável o estudo de espaços métricos onde ele possa ocorrer. Em geral, o estudo de Q-sets cujos singletons são todos representáveis, uma propriedade que implica a completude de Cauchy, é de grande interesse para nós: haja visto que para locales esta condição define uma subcategoria equivalente a um topos de Grothendieck.
Juan Ferrer Meleiro (IME - USP)
Um Teorema de Birkhoff para Multiálgebras
O clássico Teorema de Birkhoff na álgebra universal dá uma caracterização interna das clásses de álgebras que são classes de modelos de alguma teoria (as chamadas “variedades”). A prova usual desse resultado depende, crucialmente, da existência de álgebras livres para qualquer teoria, mas isso não acontece no mundo das multiálgebras. As únicas diferenças entre álgebras e multiálgebras são o uso de multifunções no lugar de funções, e uma flexibilização da noção de igualdade ao interpretar equações. E, embora sejam apenas duas, suas consequências são imensas. Neste trabalho, estamos buscando usar uma metodologia baseada na lógica formal para transportar as técnicas de prova do Teorema de Birkhoff clássico para o mundo das multiálgebras. No caminho, desenvolvemos novos formalismos, desvendamos as distintas estruturas que compõe as multiálgebras, e chegamos a um entendimento mais profundo do funcionamento do Teorema de Birkhoff.
Kaique Matias de Andrade Roberto (IME - USP)
Linear Algebra from a Multivalued Point of View
Motivated by some recent developments in abstract theories of quadratic forms, we start to develop in this work an expansion of Linear Algebra to multivalued structures (a multialgebraic structure is essentially an algebraic structure but endowed with some multivalued operations). We introduce and study matrices and determinants over a commutative superrings (roughly, a ring where the sum and product are multivalued) and study linear systems and vector spaces over superfields. As an application, we obtain a fundamental result to the development of a theory of algebraic extensions of superfields.
Kaique Santos (USP)
Multiálgebras involutivas e semigrupos
A apresentação é composta por duas etapas: Na primeira delas introduziremos multiestruturas diversas, elencando exemplos para então abordar multiálgebras involutivas. Daremos exemplos e mostraremos como certos quocientes de Marshall podem ser utilizados para gerar multiálgebras e assim, conectaremos resultados a multiálgebras involutivas conhecidas. Na segunda etapa, será tratado um tipo específico de semigrupo inverso. Começaremos considerando aspectos básicos da teoria de semigrupos e então procederemos com resultados afim de aproximar os estudos da estrutura multiplicativa de quocientes de Marshall com a classe dos semigrupos inversos.
Moacyr Rodrigues (IME - UFBA)
Equivalência de Morita para Quantales
Historicamente, Quantales são estruturas algébricas que surgem em Topologia não comutativa com o objetivo de fundamentar alguns conceitos da Mecânica Quântica. Os Quantales aparecem em diversas áreas da matemática, como, por exemplo, Análise Funcional, Teoria da Ordem e — o que é o nosso interesse — na Lógica. Em Lógica, Quantales e seus módulos possibilitam uma representação muito eficaz de, respectivamente, linguagens e sistemas dedutivos da lógica proposicional. Aqui, vamos apresentar o conceito e resultados a respeito da Equivalência de Morita para Quantales — que é um relação entre categorias dos seus módulos — a fim de estabelecer futuramente relações entre tais módulos e, portanto, conclusões a respeito das fórmulas, equações, sequentes e substituições para uma linguagem. Para tal, vamos apresentar definições e resultados de Quantales e seus módulos, progeradores para uma categoria de módulos e a Equivalência de Morita entre eles.
Paulo Sérgio Farias Magalhães Júnior (ICMC - USP)
Conjecturas de coberturas por ciclos
Um ciclo é um grafo conexo no qual todo vértice possui exatamente dois vizinhos. Seymour apresentou a Conjectura da 2-cobertura por ciclos: Conjectura 1: Todo grafo sem pontes possui uma 2-cobertura por ciclos, ou seja, uma família de ciclos tal que cada aresta do grafo aparece em exatamente duas arestas desses ciclos. Além disso, usando os conceitos de cobertura fiel por ciclos e de função admissível ele também apresentou a Conjectura da cobertura fiel por ciclos: Conjectura 2: Seja G um grafo finito e p:E(G) --> IN um mapa par e admissível. Então (G,p) admite cobertura fiel por ciclos. O conceito de função admissível é adicionado na conjectura para remover casos triviais. Tais conjecturas foram propostas na década de 70 e ainda estão em aberto. Inicialmente, essas conjecturas foram pensadas para grafos finitos, porém, ao longo dos anos foram apresentados trabalhos na direção de estender essas conjecturas para grafos infinitos. Para fazer essa extensão, Diestel, Bruhn e Stein propuseram trabalhar com ciclos infinitos no contexto de grafos localmente finitos. Para trabalhar com esse conceito precisamos adicionar uma estrutura topológica sobre os grafos. Nesta apresentação, apresentamos uma alternativa ao conceito de ciclo infinito, no qual não se faz necessário a adição de uma estrutura topológica sobre o grafo. Tal objeto tem natureza combinatória e conjuntista, fazendo uso de ultrafiltros. O ultrafiltro possui grande importância nesse conceito, ele nos ajuda a ter a noção de aproximação por ciclos. Neste trabalho apresentaremos esse conceito, algumas de suas propriedades, a sua relação com ciclos infinitos e como aplicação mostraremos como ele nos ajuda a estender as conjecturas das coberturas para grafos localmente finitos, enumeráveis e não enumeráveis.
Thiago Alexandre (IME - USP)
Teorias Geométricas da Homotopia
Na minha fala, eu gostaria de abordar a noção de "teorias geométricas da homotopia". O termo "teoria" aqui se refere a teorias de primeira ordem (possivelmente poli-sortidas e admitindo infinitas conjunções e disjunções). O termo "geométrico" indica que os axiomas destas teorias são dados por implicações entre fórmulas onde figuram apenas os símbolos quantificador existencial, conjunção, disjunção e disjunção infinita. Quanto ao termo "homotopia", este requer elucidações mais aprofundadas e será, portanto, o ponto central da apresentação. Finalmente, espero mostrar como a noção de "teoria geométrica da homotopia" pode estar intimamente ligado aos fundamentos da matemática.
Ugo Almeida (IME - UFBA)
Ω-naturalidade no contexto das classes de Leibniz
Este é um trabalho conjunto orientado pelo professor Darllan Pinto, do IME-UFBA. Tomando como fundamentação o campo da Lógica Abstrata e um pouco de Teoria de Categorias, fazemos uma breve análise da formalização da hierarquia de Leibniz (um sistema de classificação de lógicas baseado a partir do funcionamento do operador de Leibniz) feita por Jansana & Moraschini, a partir de uma perspectiva mais categorial. Nosso objetivo é verificar se a classe das lógicas Ω-naturais (proposta por nós como uma possível adição à hierarquia) se encaixa na definição desses autores de “classe de Leibniz”, ou pelo menos atende algum dos critérios estabelecidos por eles.