Ana Luiza da Conceição Tenório (UFRJ)
Explorando teoria de feixes e uma versão monoidal de topos de Grothendieck
O desenvolvimento da teoria de topos por Alexandre Grothendieck trouxe grandes avanços na geometria algébrica. Pouco depois Lawvere e Tierney generalizaram o conceito de topos de Grothendieck definindo "topos elementares" e assim tornando a teoria de topos um assunto de interesse dos lógicos. A categoria de feixes em locales (um reticulado completo onde ínfimos binários distribuem com supremos arbitrários) é um conhecido exemplo de topos.
Nessa palestra consideramos uma generalização de locales chamada quantales, a qual possui uma operação associativa adicional que, em vez do ínfimo, distribui com supremos arbitrários e definimos feixes em quantales. Veremos que a categoria de feixes em quantales é semelhante à sua versão locálica mas que em geral não é um topos. Obtemos uma versão monoidal fechada de topos de Grothendieck, a qual permite novas aplicações em cohomologia e considerações mais amplas sobre sua lógica interna.
Bibliografia:
[1] Ana Luiza Ten\'orio, Caio de Andrade Mendes, Hugo Luiz Mariano, On sheaves on semicartesian quantales and their truth values, to appear in Journal of Logic and Computation, https://doi.org/10.1093/logcom/exad081
[2] Ana Luiza Ten\'orio, Sheaves on semicartesian monoidal categories and applications in the quantalic case. São Paulo : Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, 2023, https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-31082023-163143/publico/TeseAnaTenorioVersaoCorrigida.pdf
Andreas B. M. Brunner (IME - UFBA)
Sobre Modelos da Lógica Intuicionista de Brouwer-Heyting II
Nesta palestra - qual pode ser visto como segunda parte da palestra sobre Intuicionismo proliferada na Escola de Verão em 2023 - falamos e explicamos alguns tipos de modelos para a Lógica Intuicionista de Brouwer-Heyting. Essa lógica é baseada no Construtivismo introduzido por Brouwer (1881-1966) nos anos 1910, cf. [3]. A palestra é independente da do ano passado, e por isso explicamos brevemente conceitos básicos da lógica intuicionista. Após isso, vamos introduzir o conceito de frame e álgebra de Heyting completa, que são reticulados com certas propriedades, e esses representam a lógica intuicionista algebricamente. Falamos sobre o modelo de Kripke dos mundos possíveis, cf. [1], onde podemos idealizar um matemático trabalhando dia após dia aumentando os seus resultados. Explicaremos modelos algébricos e topológicos, cf. [1]. Como toda topologia τ de um espaço topológico X é uma álgebra de Heyting completa temos a possibilidade para modelos topológicos. Finalizamos a nossa palestra, introduzindo pré-feixes e feixes de modelos sobre um frame Ω. Para isso, explicamos conceitos de Ω-set, pré-feixes sobre Ω e Ω-set completa introduzidos por Fourman e Scott em [2]. Introduzimos para uma linguagem L de primeira ordem com igualdade L-estruturas em Ω-set e em (pré-)feixes sobre Ω. Os modelos em (pré-)feixes sobre Ω generalizam os modelos de Kripke, modelos algébricos e topológicos (como também os modelos de Beth). Modelos em topos são mais gerais porém não abordamos tais modelos nesta palestra. A palestra procura ter caráter básico e não exige conhecimentos mais do que de uma graduação em matemática.
References
[1] M.C. Fitting, Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing, North Holland Publ. Co., Amsterdam-London, 1969.
[2] M. Fourman, D.S. Scott, Sheaves and Logic, in Applications of Sheaves, Lecture Notes in Mathematics, 753, Springer Verlag, 1979, 302-401.
[3] A. Heyting, Intuitionism. An Introduction, North Holland Publ. Co., Amsterdam, 1956
Charles Morgan (UCL)
A teoria de modelos de feixes de modelos
A palestra vai tratar da teoria de modelos de feixes de modelos, dos rasos até elementos da teoria de estabilidade neste ramo. Referencia sera feita para a teoria classica de modelos e veremos que uma quantia disso, até o nivel "meio dificil/sofisticado" sofrer de ser geralizado.
Ciro Russo (IME - UFBA)
MV-algebras as Sheaves of ℓ-Groups on Fuzzy Topological Space
We introduce the concept of fuzzy sheaf as a natural generalisation of a sheaf over a topological space in the context of fuzzy topologies. Then we prove a representation for a class of MV-algebras, that we called “locally retractive”, in which the representing object is an MV-sheaf of lattice-ordered Abelian groups, namely, a fuzzy sheaf in which the base (fuzzy) topological space is an MV-topological space and the stalks are Abelian ℓ-groups. Last, we show that any MV-algebra is embeddable in a locally retractive algebra and, therefore, in the algebra of global sections of one of such sheaves.
Darllan Conceição Pinto (IME - UFBA)
Lógica Abstrata Distributiva e a Dualidade de Esakia
Neste trabalho, em conjunto com o prof. Andreas Bernhard Michael Brunner, desenvolvemos um processo geral de relacionar lógicas abstratas distributivas, no sentido de Brown e Suszko, com os reticulados distributivos. Com este método podemos estabelecer relação entre certas categorias da lógica abstrata distributivas e as correspondentes categorias do espaço topológico. Entre elas, destacamos a relação entre a categoria de lógicas abstratas intuicionista com morfismos intuicionistas e a categoria de espaços de Esakia com os morfismos de Esakia.
Francisco Miraglia (IME - USP)
On Elementary Equivalence of Real Semigroups of Preordered Rings (joint work with Hugo Mariano)
Our experience has shown that, in general, we did not possess a way to obtain model-theoretic information on the real semigroups (RSs) associated to preordered rings (p-rings) from first-order elementary equivalence. This state of affairs is understandable, since, some of the basic concepts and objects to be considered are not (finitary) first-order notions; however, they are, in a natural sense, a L_{ω1,ω} relation and object, respectively. Moreover, the counterexample to the fact that the functor G from p-rings to RSs does not preserve arbitrary (even countable) powers, namely the ring R = C([0,1]), partially ordered by squares, showed that a new approach was necessary: R is a reduced, Pythagorean, Archimedean f-ring, with bounded inversion (and indeed real closed). We were, therefore, led to consider L_{ω1,ω}-elementary equivalence in place of (finitary) first-order elementary equivalence, as a means to obtain the preservation of first-order properties of real semigroups associated to p-rings.
Hugo Mariano (IME - USP)
Em direção a uma generalização monoidal dos topos e de sua lógica interna
Nesta palestra, apresentaremos alguns desenvolvimentos recentes associados sobretudo a trabalhos de alunos e ex-alunos do IME-USP sobre feixes sobre quantales e conjuntos a valores em quantais, retomando um tema de estudos envolvendo lógica e categorias realizados no IME-USP na metade final dos anos 1990, mas agora sob uma nova perspectiva: considerando quantais semicartesianos e comutativos, como generalizações não idempotentes de locales (= álgebras de Heyting completas).
Listaremos algumas propriedades das categorias (monoidais) obtidas, indicando algumas semelhanças e diferenças com os topos de Grothendieck, tema a ser detalhado e expandido em outras apresentações no 2o Encontro USP-UFBA.
O objetivo de fundo destes esforços é desenvolver uma generalização monoidal mas não cartesiana da noção de topos elementar, de modo a cobrir algumas situações matemáticas (incluindo generalizações dos espaços métricos) e possibilitar um estudo axiomático destas categorias e uma definição geral de sua lógica interna, que apresenta indícios de ser alguma forma de logica linear.
Bibliografia:
[1] Ana Luiza Tenório, Caio de Andrade Mendes, Hugo Luiz Mariano, On sheaves on semicartesian quantales and their truth values, to appear in Journal of Logic and Computation, https://doi.org/10.1093/logcom/exad081
[2] José Goudet Alvim, Caio de Andrade Mendes, Hugo Luiz Mariano, Quantale valued sets: Categorical Constructions and Properties, to appear in Studia Logica
[3] José Goudet Alvim, Caio de Andrade Mendes, Hugo Luiz Mariano, Q-Sets and Friends: Regarding Singleton and Gluing Completeness, arXiv:2302.03691, preprint 2023.
[4] David Reyes Gaona, Internal and external aspects of continuous logic and categorical logic for sheaves over quantales, Master's dissertation, UNAL-Colombia, 2023.
Marcelo Coniglio (CLE - UNICAMP)
Truth-tables for IPL: A new decision method for intuitionistic
propositional logic by a restricted non-deterministic matrix
In 1932 Gödel proved that it is impossible to characterize intuitionistic propositional logic (IPL) by a single finite logical matrix, that is, by finite-valued truth-tables. By adapting Gödel's proof, J. Dugundji proved in 1940 that no modal system between Lewis' S1 and S5 can be characterized by a single finite logical matrix. That is, the usual modal logics are also not characterized by finite-valued truth-tables. As a way to overcome Dugundji’s result, J. Kearns introduced in 1981 a 4-valued non-deterministic matrix (Nmatrix, for
short) for modal logics KT, S4, and S5 in which just a subset of the valuations are allowed (that valuations are called "level valuations"). He proved that this restricted Nmatrix (RNmatrix, for short) constitutes a sound and complete semantics for these modal logics. However, Kearns’s level valuations fail to provide an effective decision procedure for these modal logics. Recently, L. Grätz refined Kearn’s original RNmatrix to obtain a decidable 3-valued RNmatrix for modal logics KT and S4. Indeed, with an appropriate
notion of partial valuation for level semantics (i.e., by proving analyticity and co-analyticity), there is an algorithm to remove the spurious rows from the truth tables generated by the 3-valued Nmatrix. Now, recall that in 1933 Godel proved that there exists a conservative translation from IPL into S4. Since Gödel translation is also computable by an algorithm then, by composing both algorithms, a decision procedure is obtained for IPL. In this talk, the Grätz algorithm will be briefly described, as well as an algorithm
for deciding validity in IPL, by considering another translation derived from Gödel's one. It allows defining the composed algorithm for IPL above mentioned, but in a direct way. Thus, a 3-valued RNmatrix for IPL is obtained, as well as an algorithm to automatically
remove the rows from the truth tables generated by the 3-valued Nmatrix, which are not allowed. This decision procedure, as well as Grätz one, were implemented in Coq. This is a joint work with Renato Leme and Bruno Lopes.
Marlo Souza (IC - UFBA)
Mudança de Crença na Lógica Intuicionista
Mudança de Crença em Lógicas Não-Clássicas vem se tornado um tema de crescente interesse na comunidade de Epistemologia Formal e Representação de Conhecimento por delinear aspectos teóricos e metodológicos gerais para a teoria AGM de Mudança de Crenças, assim como sua aplicação ao estudo de processos cognitivos complexos e ao desenvolvimento de sistemas inteligentes dinâmicos. Em contraste à Lógica Proposicional Clássica, entretanto, a Lógica Proposicional Intuicionista apresenta interessantes desafios que colocam em questão assunções clássicas da teoria AGM, como a relação entre contração e revisão postulada por Isaac Levi e a relação entre os postulados de recuperação e relevância. Nessa palestra, discutiremos operações de contração intuicionistas, a partir dos resultados gerais de caracterização em lógicas não-clássicas e construções intuicionistas a partir de contrações hiperintencionais.
Petrúcio Viana (UFF)
Reutilizando demonstrações matemáticas
Nesta palestra, discutiremos a ideia de reutilizar uma demonstração de um resultado matemático para provar resultados cada vez mais gerais. Todos os conceitos e resultados apresentados serão introduzidos e exemplificados no nível de uma disciplina introdutória da teoria dos números. Em particular, apresentaremos exemplos de como uma mesma ideia, empregada em uma demonstração de um resultado, pode ser aplicada repetidamente para obtermos novas demonstrações de resultados cada vez mais gerais. No final, pretendemos discutir uma série de (não) conclusões e (não) problemas.
Renan Maneli Mezabarba (UESC)
Sobre a equivalência entre redes e filtros sob a luz de categorias
Filtros e redes já são velhos conhecidos de quem precisa lidar com convergência em espaços topológicos pouco amigáveis. Embora as duas abordagens tenham diferenças marcantes que influenciam diretamente no uso cotidiano, costuma-se dizer que ambas são "equivalentes", por permitirem obter os mesmos resultados topológicos. Nesta palestra, veremos que a equivalência entre filtros e redes não é mero abuso de linguagem topológico, mas sim um fato de natureza categórica.