Puesto que la ortografía sí es un campo de la gramática, ¡NO SON LO MISMO!
A modo de ejemplo, si quieres saber si una palabra lleva tilde, tu duda es ortográfica, pero si quieres saber cuál es la conjugación par un verbo particular, tu pregunta es gramatical.

Quiero decir, una palabra mal escrita es un error ortográfico (haiga en vez de haya), mientras que en un error gramatical puede haber una palabra bien escrita con un contexto incorrecto (como por ejemplo: "yo había hacer" en vez de "yo había hecho").

Puesto que ambos campos pueden llegar a ser confusos, lo cierto es que en términos de mejorar cada uno, no hay demasiada diferencia (por suerte).
He aquí una lista de cómo puedes mejorar:

Ya sea que estés dictando o escribiendo cualquier tipo de texto, repetir las palabras en las que ha cometido errores mejorará tu ortografía, agregará nuevas palabras a tu vocabulario y te asegurarás de que estés escribiendo correctamente la próxima vez.