Geometría del espacio

1.- Se evaluará con 2 exámenes y 2 tareas. El Periodo 1 tiene un valor de 40% y el Periodo 2 tiene un valor de 60% de la calificación. La calificación de cada examen deberá de ser al menos 6, si no tiene que hacer examen final.

El Periodo i tiene la evaluación Pi como sigue: La Tarea i da derecho al Examen i. Sean Ti y Ei las calificaciones respectivas. Si Ti es al menos 6, entonces Pi es el techo de Ei, sino, Pi es el piso de Ei, donde i=1,2.

Para la Calificación final CF se obtiene como sigue: Si tanto T1 como T2 son al menos 6, entonces  CF es el techo de 0.4P1+0-6P2, sino CF es el piso de 0.4P1+0.6P2.

Fecha del Examen 1: 21 de marzo de 2024.

Fecha estimada del Examen 2: 23 de mayo de 2024.

2.- Presentar examen final en 1ra (--) o 2da vuelta (--), y su calificación se pone en actas.

• Temario link

• Horario link

Bibliografía

• Pichardo Mendoza, R. (2022). Geometría analítica plana. México: Las Prensas de Ciencias.

• Ramírez-Galarza, A. I. (2006). Geometría analítica. Una introducción a la geometría. México: Las Prensas de Ciencias.

• Ballou, S. (1999) Geometría Analítica. Publicaciones Culturales.

• Lehman, Ch. (2005) Geometría Analítica. Limusa.

• No se guarda calificación.

• No se aceptan calificaciones de otros cursos.

• No se cambian calificaciones (ni 5 por NP, ni NP por 5).

• Las actividades no se reciben de forma extemporánea.

• Las tareas se entregan el día del examen.

• Los examenes se devuelven al profesor.

• La clase termina 5 minutos antes de la hora.

• No se aceptan alumnos oyentes.

• No se permiten acompañantes de clase.

• Uso recomendado de cubrebocas.

• No ingerir alimentos en clase.

• Limitar el uso del celular en clase incluyendo no hablar por teléfono en clase.

Acerca de Zoom (en caso de ser necesario)

• La plataforma que usaremos para tomar clase es zoom mediante el registro del campus virtual.

• Previo a cada clase se enviará la liga por su correo pcpuma.

• Usar una foto de perfil donde se vea su rostro de frente.

• Acceder a la plataforma con su nombre completo, sin video ni audio para no sobrecargar la red.

• La participación será a través de audio.

Estaré actualizando la tarea por semana.

Tarea 1:

Semana 1: Considera los vectores u,v,w en R^3, donde 0=(0,0,0). Si u=(x,y,z), ||u||^2= x^2.+y^2 +z^2, r en R, abs(r) es el valor absoluto de r. Se define -u como (-1)u, y  u-v como u+(-v).  Prueba que:

• u+v=v+u

• (u+v)+w=u+(v+w)

• u+0=u

• u+(-u)=0

• ||u-v||=||v-u||

•  ||u||=||-u||

• ||u||≥0

• ||u||=0 sii u=0

• ||u-v||=0 sii u=v

•  ||u-v||≤ ||u||+||v||

Semana 2: Considera los vectores u,v,w en R^3, donde 0=(0,0,0). Si u=(x,y,z), r y s en R, abs(r) es el valor absoluto de r, ru=(rx,ry,rz). Además, si v=(a,b,c), u·v=xa+yb+zc.  Prueba que:

• abs(||u||-||v||) ≤ ||u-v||

• Si u no es 0, entonces ||ru||=1 sii r=1/ ||u||.

• u·(v+w)=u·v+u·w

• u·v=v·u

• u·u=||u||^2

• r(u·v)=(ru)·v=u·(rv)

• ||u-v||^2= ||u||^2+ ||v||^2-2u·v

• r(u+v)=ru+rv

• r(su)=(rs)u=s(ru)

• (r+s)u=ru+su

Semana 3: Resuelve los siguientes problemas: 

• Calcula y grafica aproximadamente cada vector u=(x,y) con ángulo µ, en los siguientes casos:

• Usa los 4 vectores u=(x,y) del ejercicio anterior (primer ejercicio de esta semana) para calcular el vector unitario.

  1. ||u||=10, µ=π/3

  2. ||u||=2, µ=5π/3

  3. ||u||=3, µ=3π/4

  4. ||u||=4, µ=57π/36

• Usa los 4 vectores u=(x,y) del primer ejercicio de esta semana y calcula las proyecciones de v=(-2,3) sobre el vector u correspondiente. 

• Halla el valor de x, para el que los puntos A=(1,-7), B=(-1,5) y C=(x,8) son colineales.

• Halla la ecuación paramétrica vectorial ordinaria de la recta que contiene a s,t en R^3.

Semana 4: Resuelve los siguientes problemas, considera T=(-2,1) y l': 2x+5y+3=0

• Hallar la ecuación cartesiana ordinaria de la recta (l: Ax+By+C=0) que contiene al punto T y que es paralela a la recta l'.

• Halla la distancia entre las rectas l y l' del ejercicio anterior.

• Halla la ecuación paramétrica vectorial ordinaria de la recta l' y calcula la proyección w de T=(-2,1) a l'.

• Halla la distancia dirigida de T a l' y de l' a T.

• Hallar la ecuación cartesiana ordinaria de la recta (l1: Ax+By+Cz+D=0) en R^3 que contiene al punto (3,-2,1) y que es paralela a la recta l2: 2x+5y+4z+3=0.

• Instala Wolfram Mathematica, ver https://www.software.unam.mx.

Semana 5:

• Realiza un notebook en Mathematica con todas las gráficas de las funciones trigonométricas con ángulo µ en el intervalo [0,2π).

• Realiza un notebook en Mathematica con todas las gráficas de las funciones trigonométricas con ángulo µ en el intervalo (-π,π].

• Realiza un notebook en Mathematica con todas las gráficas de las funciones trigonométricas con ángulo µ en el intervalo [-10π,10π].

• Halla el subinterbalo de  [0,2π) donde cada las funciones trigonométricas son invertibles y realiza un notebook en Mathematica con todas las gráficas de las funciones inversas de las funciones trigonométricas.

• Encuentra las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la circunferencia C: x^2+y^2=13 que pasan por el punto (5,0).

• Dada la circunferencia C: x^2+y^2=13 halle los dos puntos de intersección P1 y P2 con la recta l: x=13/2.  Halla las dos rectas tangentes l1 y l2 a C que pasan por P1 y P2, respectivamente, así como que la intersección de l1 con l2, que es el punto T (hint: el punto T tiene segunda coordenada 0).

• Dados dos puntos P=(b,0) y Q=(-b,0), demuestre que el lugar geométrico descrito por el punto u=(x,y) tal que d(u,P)/d(u,Q) es una constante K positiva (con K distinta de 1) es una circunferencia. ¿Qué pasa si consideramos K=1?

Semana 6:

• Halla la ecuación de la parábola con foco (0,3) y directriz l: 3x+4y-12=0.

• Obtener la ecuación de la parábola cuyo vértice se encuentra sobre la recta l: 7x+3y-4=0, el vértice y el foco se encuentran en una recta horizontal y pasa por los puntos P=(3,-5) y Q=(3/2,1).

• La órbita de la tierra es una elipse, donde uno de sus focos es el sol. Se sabe que el semieje mayor a=148.5 millones de kilómetros y que la exentricidad es e=0.017.

  1. Halla la máxima y mínima distancia de la tierra al sol.

  2. Halla la ecuación de la elipse.

• El lado recto de una parábola P es el eje menor de la elipse E: 41x^2+16y^2=656. Halla la ecuación de P y grafica lo obtenido.

Semana 7:

• Hallala ecuación general de la hipérbola con Mathemática.

Tarea 2: 

Semana 9: Considera los vectores u,v en R^3, donde u=(x,y,z) y v=(a,b,c); y r y s escalares. La distancia entre u y v se define como d(u,v)^2=(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2=||u-v||^2.  Prueba que:

1. d(u,v)=d(v,u).

2. ||u+v|| ≤||u||+||v||.

3. r(uxv)=(ru)xv=ux(rv).

4. (r+s)(uxv)=r(uxv)+s(uxv).

5. u || v si y sólo si uxv=0.

6. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto (1,2,3) y tiene vector normal (1,2,3).

7. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (-2,-1,0), (1,2,3) y (4,5,6).

Semana 10: Considera los vectores u,v,w en R^3 y r y s escalares.

8. De un ejemplo donde (uxv)xw no es ux(vxw).

9. uxv=-vxu

10. ux(vxw)=v(u·w)-w(u·v)

11. ux(vxw)+wx(uxv)+vx(wxu)=0

12. Hallar la distancia del punto T=(5,1,3) a la recta l: x=3, y=7+r, z=1+r.

13. Determina la ecuación de la recta l que resulta de la intersección de los planos P1 que pasa por (2,3,-2) con vector normal n1=(2,-3,6) y P2 que pasa por (2,3,-2) y vector normal n2=(1,-1,2).

Semana 11: 

14. Muestra que si cortamos una esfera por un plano, obtenemos una circunferencia.

15. Determina la ecuación de la circunferencia C que se obtiene se cortar la esfera C2: x^2+y^2 +z^2=25 por el plano P: y=3. Haz un esquema.

16. Determina la superficie que da la ecuación yz=1. Halla los cortes para x=0, y=0 y z=0. Haz un esquema.

17. Determina la superficie que da la ecuación x=y^2-z^2. Halla los cortes para x=0, y=0 y z=0. Haz un esquema.

18. Graficar x^2 -y^2 -z^2+4x-8y+2z-17=0.

19. Graficar x^2 +4y^2 +z^2-16=0.

20. Graficar y -4z^2=4X^2.

Semana 12: Realizar evaluación docente: https://encuestas.acatlan.unam.mx/aprendizaje/

21. Graficar usando el polinomio característico así como los valores y vectores característicos de 2x^2-√3 xy+y^2=1.

22. Graficar usando el polinomio característico así como los valores y vectores característicos de 2x^2+y^2+z^2+2xy+2xz=9.

23. Graficar usando el polinomio característico así como los valores y vectores característicos de 2xy+2xz+2yz-4x +6y +3=0.

24. Graficar usando el polinomio característico así como los valores y vectores característicos de 3x^2-y^2+4xz-10x +2y-4z +3=0.

25. Grafique los ejercicios anteriores usando mathematica.

Semana 13:

26. Graficar en coordenadas polares r=2+4cosµ.

27. Graficar en coordenadas polares r=π/µ, µ≠0, (espiral hiperbólica).

28. Graficar en coordenadas polares r=φ^(2µ/π), donde φ es la constante áurea, (espiral áurea).

29. Graficar en coordenadas polares r^2=µ/π, (espiral de Fermat).

30. Deduce la forma polar de la circunferencia (x-h)^2+(y-k)^2=a^2.

31. Halla cómo graficar en coordenadas cilíndricas en mathematica.

Semana 14:

32. Halla la fórmula de distancia en coordenadas cilíndricas.

33. Halla la fórmula de distancia en coordenadas esféricas.

34. Verifica que la traslación es isometría.

35. Verifica que una isometría por el origen está dada los la matríz -I.

36. Halla la superficie S de revolución obtenida de la hipérbola y^2 -4z^2=4 en el plano YZ, al rotar por el eje Z.

37. La superficie S del ejercicio anterior, da su ecuación en coordenadas cilíndricas y esféricas

Semana 15: 

38. Grafica la ecuación r=9Sen(µ) dada en coordenadas cilíndricas.

39. Grafica la ecuación d=1 dada en coordenadas esféricas.

40. Grafica la ecuación µ=4π/3 dada en coordenadas esféricas.

41. Grafica la ecuación φ=π/3 dada en coordenadas esféricas.

42. Dado el punto en coordenadas cilíndricas u=(8,2π/3,3), exprésalo en coordenadas cartesianas y esféricas.

43. Dado el punto en coordenadas esféricas u=(4,2π/3,4π/3), exprésalo en coordenadas cartesianas y cilíndricas.

44. Investiga sobre coordenadas parámetricas, en particular sobre la ecuación de un toro, una banda de Mobiüs y una helicoide.

Tarea Examen II, 

Sea d  el dígito de las decenas de su número de cuenta. Entregar los ejercicios para el día viernes 24 de mayo. Cada ejercicio justificado y bien estructurado.

• {5,10,15,20,25,30,35,40} si d=0 o 5.

• {1,6,11,16,21,26,31,36,41} si d=1 o 6.

• {2,7,12,17,22,27,32,37,42} si d=2 o 7.

• {3,8,13,18,23,28,33,38,43} si d=3 u 8.

• {4,9,14,19,24,29,34,39,44} si d=4 o 9.

Software

1. SAGE / Sage en la nube liga

2. Geogebra liga

3. Julia y material básico de Julia liga

4. Wolfram Mathematica liga

5. Notebooks de Mathematica liga

6. Analytic Geometry with Mathematica liga

Videos

7. Sobre el valor absoluto video

8. Ver los videos de Dimensions liga

9. Sobre grados y radianes liga

10. Sobre la elipse liga

11. La elipse y un láser liga

12. Super elipses liga

13. Teorema de Holditch liga

14. Sobre el volumen de una esfera video

15. Intro a los próximos videos liga

16. Sobre Notre-Dame liga

17. Sobre gasolineras liga

18. Sobre curvatura liga (otro video de curvatura más matemático liga)

19. Sobre Catenarias liga

20. Sobre puentes liga

21. Sobre Gaudí liga

22. Sobre antenas liga

23. Sobre una aplicación del producto cruz (dirección de propagación de la energía) liga