Stochastik
Ein Basketballspieler wird vom Trainer statistisch erfasst:
Spieler, Anzahl Körbe in 10 Spielen (geordnet)
0, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6
statistisch relevante Daten
Mittelwert 3,5 (Summe/Anzahl)
Varianz 3,05(Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert)
Standardabweichung 1,870828693(Wurzel aus Varianz)
Maximum 6
Minimum 0
Median 3,5
In der Mitte gelegener Zahlenwert bzw der Mittelwert der beiden in der Mitte gelegenen Werte
25% Qantil=unt. Quartil 2 25% von 10=2,5 nächste ganze Zahl 3, also 3. Wert (ganzzahlig, Mittelwert mit dem nächsten)
In Stochastik1 handelte es sich um das Teilgebiet Statistik.
Das zweite Teilgebiet ist Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Hier werden mathematisch Modelle für die Statistik entwickelt.
Es wird hauptsächlich statistisch relevantes behandel.
Das Basketballbeispiel aus Stochastik1 könnte auch ein Würfelbeispiel sein
(Vorgänge wie das Werfen eines Würfels nennt man Zufallsexperimente).
Ergebnis bei 10-maligem Würfeln: 0, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6
Der Unterschied zeigt sich bei einer größeren Zahl von Wiederholungen,
wenn man das Auftreten der gewürfelten Zahlen betrachtet.
Die einzelnen Zahlen treten nämlich mit ungefähr gleicher Häufigkeit,
etwa 1/6 der Gesamtzahl auf.
Der Mathematiker ordnet daher jeder einzelnen Zahl die
Wahrscheinlichkeit 1/6 zu.
Schreibweise: P({1})=P({2})=...=P({6})=1/6
Beim Basketballbeispiel wäre P({0})=P({4})=0,1 P({1})=0 P({2})=P({3})=0,2 P({5})=0,3 P({6})=0,1 Interpretationsbeispiel: Der betrachtete Spieler erzielt bei 10 Spielen mit
der Wahrscheinlichkeit 0,1 keinen Korb.
Bei der seltsamen Schreibweise handelt es sich um die Mengenschreibweise.
Dem Zufallsexperiment Würfeln mit einem Spielwürfel wird die Menge
A={1, 2, 3, 4, 5, 6} zugeordnet, 1, 2, ..., 6 sind ihre Elemente.
1€A ... 1 Element von A
{}, {1}, ..., {6}, {1, 2}, {1,3}, ...,{1, 6}, ..., {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Heißen Teilmengen von A, sie repräsentieren die Ereignisse.
{} ist die leere Menge, die das unmögliche Ereignis repräsentiert, P({})=0
A ist das sichere Ereignis, P(A)=1
Damit ist eine einheitliche Darstellung gewährleistet.
U={1, 3, 5} repräsentiert z.B. das Ereignis: eine ungerade Zahl wird gewürfelt.
P(U)=3/6=0,5=50%
Die Teilmengen mit 1 Element heissen Elementarereignisse.
Haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, ist diese
1/Anzahl der Elemente von A.
Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses ist die Summe der
Elementarereignisse die es enhält.
Das wären jetzt die mathematischen Grundlagen.
Im Folgenden geht es um die Wahrscheinlichkeiten komplexerer Ergeignisse.
Man kann die Rechenergebnisse statistisch überprüfen, indem man
die Zufallsexperimente genügend oft wiederholt.
Einfache Verknüpfungen von Ereignissen an Hand des Werfen eines Würfels:
W={1, 2, 3, 4, 5, 6} Grundmenge
A={1, 3, 5} x€A, Ergeignis A ist eingetreten P(A)=3/6
A'=W\A "W ohne A" A ist nicht eingetreten
Komplementmenge von A P(A')=1-P(A)=3/6
A={1, 2, 3} B={3, 4} AUB={1, 2, 3, 4} Vereinigungsmenge von A und B.
A oder B sind eingetreten P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B) mit A*B={3}
A+B Vereinigungsmenge, A*B Schnittmenge.
P(A*B)=1/6 A und B sind eingetreten.
Eigentlich +=U und *=umgedrehtes U
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A)=PA(B)=P(A*B)/P(A)=1/3
Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung von A.
P(X*Y) P(A) P(A') Summen
P(B) 1/6=P(A*B) 1/6)=P(B*A') 2/6=P(B)
P(B') 2/6=P(A*B') 2/6=P(B'*A') 4/6=P(B')
Summen 3/6 3/6 1
=P(A) =P(A')
Vierfeldertafel zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Gilt P(A)*P(B)=P(A*B) nennt man die Ereignisse unabhängig,
was hier nicht der Fall ist.
Praktisches Beispiel:
Die Untersuchung ergab, dass 9 Schüler aus Klasse 10b den Mathematikunterricht mögen.
Die Klasse 10b besteht aus 36 Schülern. In der Klasse 10a befinden sich 12 Schüler,
die den Mathematikunterricht nicht mögen.
Insgesamt mögen 27 Schüler der 10. Jahrgangsstufe den Mathematikunterricht.
1. Häufigkeiten<br>
H 10a 10b Summen
mögen 18. 9 27
mögen' 12 27. 39.
Summen30. 36 66. Die .Zahlen sind gerechnet
2. relative Häufigkeiten=Wahrscheinlichkeiten
P 10a 10b Summen
mögen 27,3% 13,6% 40,9%
mögen 18,2% 40,9% 59,1%
Summen45,5% 54,5% 100% Zahlen der Häufigkeitstabelle/66
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der
10. Jahrgangsstufe aus der 10b kommt und den Mathematikunterricht mag?
Ergebnis: 13,6%
Mittels Vierfeldertafel kann die Aufgabe relativ einfach gelöst werden.
Natürlich müssen die Angaben so sein, dass man die Tabellen vollständig
ausfüllen kann.
Als nächstes Zufallsexperiment betrachten wir den Wurf einer Münze,
da wir diesen mehrfach durchführen wollen. Die beiden Seiten
bezeichnen wir mit der Einfachheit halber mit 0 und 1.
Wenn wir zweimal werfen können wir dies mit der Menge
W1={00, 01, 10, 11} beschreiben
Man kann annehmen, dass alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, also
P({00})=P({01})=P({10})=P)=1/4
Baumdarstellung:
1.0.1.0 2. Wurf
.v...v.
.1...0. 1. Wurf
...v...
man hat eine mehrfache Verzweigung zu 0 und 1, denkt man sich an jeden
Zweig die Wahrscheinlichkeit 0,5 angeschrieben und multipliziert die
Werte an den Zweigen, so erhält man die Wahrscheinlichkeiten der Ausgänge, 0,25.
Diese Regel heißt Pfadregel und ist universell anwendbar für Mehrfachexperimente.
Baum für 3-fachen Münzwurf 1.0.1.0.1.0.1.0 3. Wurf
.v...v...v...v.
.1...0...1...0. 2. Wurf
...v.......v...
...1.......0... 1. Wurf
.......v.......
Damit ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Ausgang 1/8=0,125
Größere Bäume muss man sich vorstellen, oder Teile davon zeichnen.
Beispiel: In einer Urne sind 49 Lottokugeln, es wird 6 mal gezogen,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 6 richtige:
(1/49)*(1/48)*(1/47)*(1/46)*(1/45)*(1/44)~1/10 Milliarden
Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, darf man das Ergebnis
noch mit 2*3*4*5*6=720 multiplizieren: ~1/14 Millionen.
(hat man 2 Hosen und 3 Pullis kann man sich auf 6 Arten mit
Hose und Pulli kleiden, was man sich auch mit einem Baum klarmacht!)
Eine besondere Art von Zufallsexperiment ist das Ziehen aus einer Urne,
die nur Kugeln mit Aufschrift 0 und 1 enthält. Dieses spielt in der
Statistik eine besonere Rolle, und zwar bei Tests.
Beispiel: 10 Kugeln, 4 mal 0(Ausschuss) und 6 mal 1(Normgerecht), 3 Ziehungen,
die gezogene wird jeweils zurückgelegt.
1.0.1.0.1.0.1.0 3. Zug
.v...v...v...v.
.1...0...1...0. 2. Zug
...v.......v...
...1.......0... 1. Zug
.......v.......
Es gibt 8 Ausgänge, Zufallsvariable X sei die Zahl der Kugeln mit 0
111, P(X=3)=1*0,6³=21,6%
110, 101, 011, P(X=2)=3*0,6²*0,4=43,2%
100, 010, 001, P(X=1)=3*0,6*0,4²=28,8%
000 P(X=0)=1*0,4³=6,4%
gemäß der Pfadregel für den Baum.
Die Anzahl der Wege, kann hier leicht abgelesen werden.
Wie ist es aber bei 11000, ..., 00011?
Wären es 5 verschiedene Ziffern, 2*3*4*5 verschiedene Anordnungen
Sobald gleiche dabei sind, sind es weniger, daher sind es im Beispiel
1*2*3*4*5/(1*2*3)/(1*2)=10 mit Fakultät 5!/(3!*2!)
11000, 01100, 00110, 00011, 10100, 01010, 00101, 10010, 01001, 10001
Also: n Ziffern, k mal 0 und n-k mal 1 kann man auf
(nk)=n!/(k!*(n-k)!) Arten anordnen
Binomialkoeffizienten nCr auf Taschenrechner
allgemein: p Wahrscheinlichkeit 0, 1-p Wahrscheinlichkeit 1, n Kugeln, k Züge
P(X=k)=(nk)*pk*(1-p)n-k
Bei P(X=k) kann man statt = auch <, >, <=, >=, # (ungleich) schreiben
P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(x=2)=0,784=78,4%=1-P(X=3)
Bei einem Qualitätstest wird aus einer laufenden Produktion eine Stichprobe von
10 Artikeln entnommen. Dies entspricht dem Ziehen aus einer Urne mit zurücklegen.
Findet der Hersteller wiederholt im Mittel 2 Defekte, so man von p=0,2 ausgehen,
und der Artikel kann entsprechend angeboten werden.
Macht der Kunde nur einen einzigen Test, können folgende Fälle auftreten.
Dabei können 3 Fälle auftreten, p korrekt, p zu klein, p zu groß.
P(X=2)=0,6²*0,4=43,2%
P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0,4³+3*0,6*0,4²=35,2%
P(X>2)=P(X=3)=0,6³=21,6%
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 43,2%+35,2%=78,4% wird er die Ware wohl annehmen
und mit einer Wahrscheinlichkeit von 21,6% fälschlicherweise ablehnen.