Analysis
n der Schul-Analysis werden Terme mit einer Variablen,
normalerweise x untersucht. Gibt man sie auf der Seite
Plotter ein, so erhält man eine grafische Darstellung.
Punkte (x|y), y=f(x) werden in einem Koordinatensytem
markiert.
Die Werte für x werden auf eine Definitionsmenge eingeschränkt.
Die daraus resultierende Werte des Terms bilden die Wertemenge.
Beispiele:
f(x)=2x-3, -10<x<10
Im folgenden wird die Angabe der Definitionsmenge nur in Form
wegzulassender Werte (wegen Division durch 0) angegeben.
f(x)=0,5x²+2x-3
(0.5*P(x,2)+2*x-3)
f(x)=1/x (x ungleich 0)
Betrachtet man f(x)=x², und die Geraden durch den Punkt (1|1)
auf der Parabel: g(x)=mx+1-m, was man durch einsetzen bestätigt,
g(1)=m+1-m=1, so hat die Gerade mit g(x)=2x-1 nur einen
gemeinsamen Punkt mit der Parabel gemeinsam, alle anderen 2.
Diese Gerade berührt die Parabel, während die anderen diese schneiden.
Allgemein kommt man zur Tangente, indem man Punkte auf einen
festen Punkt zubewegt.
Führt man dies allgemein durch, so erhält man die Steigung m der Tangente.
In unserem Beispiel
Beweis: (ausnahmsweise)
Sekantensteigung:
(f(x0)-f(x1))/(x0-x1)=
(x0²-x1²)/(x0-x1)=
(x0-x1)*(x0+x1)/
(x1-x1)=x0+x1
Tangentensteigung x1->x0: f'(x0)=2x0, x1->x0 soll Annäherung von P1 an P0 bedeuten.
Man beachte in diesem Zusammenhang, dass bereits Wurzel 2 nur näherungweise möglich ist.
f(x)=ax²+bx+c, f'(x)=2ax+b, mit Konstanten a, b, c
(konstanter Faktoren a, b bleiben; konstanter Summand c fällt weg)
f(x)=x³, f'(x)=3x² (Hochzahl unverändert davor und um 1 vermindern)
Mit diesen Regeln kann man bereits die Tangenten für alle ganzrationale Funktionen berechnen.
f'(x) heißt Ableitung von f(x).
Tangentensteigung m=f'(x)
(vom Kurvenpunkt 1 nach rechts, dann m nach oben, wenn positiv, sonst nach unten)
Tangentengleichung: y=m(x-x0)+f(x0)) , wenn m=f'(x0).
An Hand von ganzrationale Funktionen, kann man zwei wesentliche Sachverhalte kennenlernen, dazu genügt bereits der Grad 3, also
f(x)=ax³+bx²+cx+d, x ohne Einschränkung, a bis d konstant.f'(x)=3ax²+2bx+c 1. Ableitung
f''(x)=6ax+2b 2. Ableitung (1. Ableitung nochmals abgeleitet) Die Nullstellen von f'(x)=0 und f''(x)=0 sind für den Kurvenverlauf
interessant, die von f'(x)=0 auch für Anwendungen. Allerdings kann man die Nullstellen von f(x) nur bei Grad 1 und 2
einfach berechnen, näherungsweise aber unabhängig vom Grad.
Beispiel:
f(x)=x³+x²-2x
f(x)=Math.pow(x,3)+
Math.pow(x,2)-2*x
(ins Eingabefeld kopierbar)
Von links nach rechts steigt das Schaubild über den Hochpunkt, fällt dann bis zum Tiefpunkt und steigt dann wieder. Zwischen Hoch- und Tiefpunkt liegt ein Wendepunkt, in dem das Schaubild von einer Rechts- in eine Linkskurve über.
Das ist wohl anschaulich klar. Mathematik muss aber berechenbar sein.
Bei Nullstellen von f(x), f'(x), f''(x) kommt es auf den Vorzeichenwechsel an.
Dieser wird jeweils links davor und rechts dahinter geprüft, wobei die
Prüfstellen nur eine Nullstelle enthalten darf.
f(x)=0
f'(x)=0 +- :Hochpunkt, relatives Funktionsmaximum -+:Tiefpunkt, r. Funktionsminimum
f''(x)=0 +- Wendepunkt,
Linkskurve->Rechtskurve oder -+ WP, RK->LK
f(x)=x³+x²-2x=0 x(x²+x-2)=0 x1=0, x2=1, x3=-2 (Formel siehe Algebra)
f'(x)=3x²+2x-2 x4~-1,2 x5~0,5
Prüfung: f'(-2)=6 f'(0)=-2 f'(1)=3: Hochpunkt(x4|f(x4)) Tiefpunkt(x5|f(x5))
f''(x)=6x+2=0 x6=-1/3 Prüfung: f''(-1)=-4 f''(0)=2 Wendepunkt(-1/3|f(-1/3))
Anwendung:
Aus einem Quadrat aus Pappe der Seitenlänge 30cm soll ein Behältnis mit folgendem Netz gefaltet werden. Der Rauminhalt soll möglichst groß werden.
x| |x
| |
|_ ____|
x| |x
Zielfunktion f(x)=x(30-2x)²=x(900-120x+4x²)=4x³-120x²+900x (0<x<15)
f'(x)=12x²-240x+900=0 x²-20x+75=0 x1=5 x2=15
f'(0)=75 f'(10)=-25 d.h f(5)=2000 relatives Maximum
f'(20)=75 d.h. f(15)=0 relatives Minimum
Randprüfung: (Rand der Definitionsmenge könnte ein größerer Wert
f(0)=f(15)=0, also f(5) auch absolut maximal.
Während das letzte Beispiel in Analysis2 aus der Wirtschaft kam, werden jetzt zwei Beispiele aus der Natur behandelt, Schwingungen und exponentielles Wachstum.
Die zuständigen Funktionsterme lauten in der Grundform sin(x) und ex .
Im Plotter,
Mat.sin(x) und
Math.pow(Math.E,x) eingeben.
Zur Sinusschwingung:
Zunächst handelt es sich um etwas Geometrisches im rechtwinkligen Dreieck
sin(w)=Gegenkathete/Hypotenuse mit 0<w<90°
cos(w)=Ankathete/Hypotenuse mit 0<w<90°
tan(w)=Gegenkathete/Hypotenuse mit 0<w<90°
Bei Schwingungen wird w ins Bogenmaß umgerechnet x=w*pi/180°, pi~3,14
Dies ist die Länge des Bogens, der vom Winkel aus dem Einheitskreis ausgeschnitten wird, wobei der Einheitskreis den Umfang 2pi hat. Bei Schwingungen hat man normalerweise mit w nichts mehr zu tun.
Es gilt sin(x)=sin(x+p), nur wenn p ganzzahliges Vielfaches von 2pi ist,
p=2pi heißt Periode. Der Periodenmittelwert 0, die maximale Abweichung davon 1 heißt Amplitude. Die Phasenverschiebung ist 0.
Bei asin(bx+c)=asin(b(x+c/b))+d a,b ungleich 0 gilt
Amplitude |a|, Periode 2pi/|b|, Mittelwert d, Phasenverschiebung -c/b
Ü: Beispiele in Plotter eingeben ...
Eine einfache trigonometrische Gleichung löst man so:
sin(x)=2, unlösbar, da -1<=sin(x)<=1
sin(x)=0,5 |sin-1 x=sin-1(0,5)~0,52 erfordert einen wissenschaftlichen Taschenrechner.
(Im Plotter sin(x)-0.5 ergibt einen einstelligen Näherungswert)
Ableitungen: 1. cos(x) 2. -sin(x) gemäß Formelsammlung
Zur Exponentialfunktion:
Bei unterjähriger Verzinsung wächst das Kapital in einem Jahr auf das (1+1/n)n-fache
So erhält man eine Annäherung an die Eulersche Zahl e.
Eine einfache Exponentialgleichung löst man so
ex=2 |ln x=ln(2)~0,69 erfordert einen wissenschaftlichen Taschenrechner
Ableitungen: 1. ex 2. ex ..
Ein mathematischer Gesichtspunkt ist die Umkehrung.
Beispiele für Umkehrungen
x+2-2=x Subtraktion ist die Umkehrung der Addition
x*2/2=x Division ist die Umkehrung der Multiplikation
V(x²)=x Wurzel ist die Umkehrung zum Quadrieren
Funktionsschreibweise
f(x)=x+2, g(x)=x-2 f(g(x))=f(x-2)=x-2+2=x entsprechend g(f(x))=x
f(x)=x*2, g(x)=x/2 f(g(x))=f(x/2)=x/2*2=x entsprechend g(f(x))=x
f(x)=x², g(x)=V(x), f(g(x))=(V(x))²=x entsprechend g(f(x))=x
f(x)=ex, g(x)=ln(x), f(g(x))=eln(x)=x=ln(ex)
Bei der Sinusfunktion benötigt man die Umkehrung nur zum Lösen von Gleichungen.
Die Umkehroperation zur Ableitung f' einer Funktion f ist die Aufleitung F.
f(x)=x², f'(x)=2x, F(x)=(1/3)x³+c
Die Konstante c ist erforderlich, da sie beim Ableiten wegfällt.
F'(x)=f(x).
Was zunächst wie eine Spielerei aussieht hat eine wichtige Bedeutung, man kann mit Hilfe der Aufleitung krummlinig begrenzte Fläche berechnen.
Wir betrachten Rechtecke der Breite b und der Länge x
| | | | | |
0 1 2 3 4 5
dann gilt A(x)=b*x mit A'(x)=f(x)=b
Mit F(x)=b*x+c kann nun das Rechteck von 2 bis 5 folgendermaßen berechnet werden mit
der Formel F(5)-F(2)=5b+c-(2b+c)=3b berechnet werden, c spielt keine Rolle.
Hat man F von einer Funktion f, so kann man Flächen zwischen Schaubild, x-Achse sowie den Geraden x=x1 und x=x2 mit der Formel F(x2)-F(x1) berechnen, sofern das Schaubild nicht unterhalb der x-Achse liegt. Liegt das Schaubild nicht oberhalb der x-Achse ergibt sich ein negativer Wert. Man kann also von Nullstelle zu Nullstelle rechnen.
Beispiel:
f(x)=-x²+x F(x)=-(1/3)x³+(1/2)x² (+c kann man weglassen)
Der Inhalt der Fläche oberhalb der x-Achse beträgt
F(1)-F(0)=1/6
Bei Flächen zwischen Schaubildern oberes, o(x) und unteres u(x) muss man dann sinngemäß die Grenzen in O(x)-U(x) einsetzen.
Für den Mittelwert einer Funktion f über dem Intervall [a,b] gilt (F(b)-F(a))/(b-a)
Integralschreibweise: (a<=b)
aSbf(x)dx=[F(x)]=F(b)-F(a)
(Das S müßte noch etwas gestreckt werden)
Die Formel liefert aber nur dann den Inhalt des vom Schaubild der Funktion f der
x-Achse und den Geraden x=a und x=b begrenzten Flächenstücks, wenn es zwischen a und b keine Nullstelle gibt. Liegt das Flächenstück unterhalb der x-Achse, kommt der Wert negativ heraus. Bei Nullstellen muss man "stückeln".
Rotiert das Schaubild um die x-Achse, so gilt für das Volumen des Rotationskörpers
Vx=piaSbf²(x)dx
Das war natürlich sehr knapp, ist aber auch der Abschluss der Schulanalysis.
Übrigens war das Einstiegsbeispiel mit der Rechtecksberechnung durchaus aussagekräftig, da man die krummlinig begrenzten Flächen in vertikale Streifen schneiden kann und man so zu einer rechteckigen Annäherung kommt.
Das S steht daher für Summe.