Algebra

Bisher handelte es sich um Rechnungen zweier Zahlen. Bei mehr als 2 Zahlen kann man Klammern setzen, die man dann getrennt ausrechnen kann.

Beispiel: 2+3+4

entweder (2+3)+4 oder 2+(3+4), beides mal 9

Um die Regel zu formulieren nimmt man Buchstaben als Platzhalter für Zahlen, wobei der gleiche Buchstabe für die gleiche Zahl steht.

(a+b)+c=a+(b+c) Verbindungsgesetz für beliebige Ersetzungen der Buchstaben durch Zahlen.

(a-b)-c=a-(b-c) gilt aber nicht:

(10-9)-1=0 aber 10-(9-1)=2 ein Regelverstoß genügt!

Ebenso gilt das Verbindungsgesetz für die Multiplikation, nicht aber für die Division.

Die beiden Verbindungsgesetze erlauben es Klammern wegzulassen, wenn nur eine der Operationen vorliegt, man rechnet dann am einfachsten von links nach rechts.

Bei +- Aufgaben mit Klammern kann man diese auflösen:

4+(3-2)=4+3-2=7-2=5 (Plusklammern kann man weglassen)

4-(3-2)=4-3+2=1+2=3 (Minusklammern kann man weglassen, wenn man die Rechenzeichen ändert)

Das Vertauschungsgesetz

a+b=b+a, das auch für die Multiplikation gilt, kann man für Rechenvorteile anwenden.

88+13+12=88+12+13=100+13=113

2*88*5=2*5*88=10*88=880

Bei gemischten Rechenoperationen gilt Punkt vor Strich:

2+3*4=2+12=14

Im Zweifel von links nach rechts:

8*4:2=16, aber 8*(4:2)=4

Das war nur eine kleine Ergänzung zur Arithmetik. In der Algebra geht es um Regeln für die Verknüpfung von Platzhaltern, die man dann für das Zahlenrechnen anwenden kann.

Ein einfaches Beispiel ist der Umfang eines Rechtecks mit der Länge a und der Breite b.

u=a+b+a+b=a+a+b+b=2*a+2*b=2*(a+b)

Damit vermindert sich die Zahl der Rechenoperationen von 3 auf 2, dies macht die Berechnung durch Computer schneller.

Bei dem Beispiel wurde das Verteilungsgesetz angewandt:

a*(b+c)=a*b+a*c

Benötigt werde daneben noch

0+a=a, 0*a=0, 1*a=a

Rechnungen kann man auf der Seite Z_PLOTTER üben.

Potenzrechnung siehe Analysis4.

Die Formel zur Berechnung des Rechtecksumfangs (siehe Algebra1)

u=2*(a+b)

Wenn a und b bekannt sind, kann man den Umfang u problemlos berechnen.

Wenn der Umfang und eine Seite gegeben kann man die andere Seite berechnen.

z.B. u=6 a=2

6=2*(2+b)

Ein solches Konstrukt nennt man eine Gleichung mit einer Variablen u, 2*(a+b) nennt man Terme.

Zur Lösung, also zum Wert von b, kommt man, indem man links und rechts jeweils die gleiche (geeignete) Rechenoperation durchführt.

6=2*(2+b) |:2

3=2+b |-2

1=b

Bei einer Formel hat man normalerweise links eine Größe, die man mit dem Term rechts berechnen kann, wobei der Term optimal vereinfacht sein sollte.

a+a+b+b=2*a+2*b ist keine Formel, sondern eine Termvereinfachung.

In der Schulmathematik werden hauptsächlich Terme mit 1 Variablen, meist x, untersucht.

Solange es lineare Terme sind, gibt es keine grundsätzliche Probleme.

Beispiele für lineare Terme:

2, x, 2*x, x/2, 2*x+3, ...

Auf der Seite Z_PLOTTER kann man die Terme zeichnerisch darstellen, man erhält Geraden.

1/x, x*x sind nichtlinear.

Bereits quadratische Terme sind aber problematisch.

Bereits x*x, abgekürzt x² führt mathematisch in eine völlig neue Welt, zeichnerisch erhält man eine Parabel.

Bereits die Gleichung x²=2 kann mit Brüchen nicht exakt, wohl aber näherungsweise gelöst werden.

Man schreibt aber x=V(2)~1,414 auf 3 Dezimalstellen genau.

In Z_RECHNER muss man V(2) eingeben, da dieser ganz einfach programmiert ist.

(Quadrat P(3,2)=9)

Dazu gibt es dann immer x=-V(2) als negative Lösung.

Das normale Wurzelzeichen ist ein V bei dem der erste Strich verkürzt ist. Dort wo der zweite Strich endet, wird alles überstrichen, was noch kommt, ich bleibe bei V und Klammer.

Mittels Wurzelsymbolik kann man dann wieder exakt rechnen, also

V(2)²=2

Manche Wurzeln sind auch exakt auflösbar, z.B.

V(1)=1, V(4)=2, V(9)=3, V(16)=4, ...

Im Zusammenhang mit quadratischen Termen treten die binomischen Formeln auf, die in Wirklichkeit Termumformungen sind:

(a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²-2ab+b², (a+b)(a-b)=a²-b²

Für die Lösung quadratischer Gleichungen der Form

ax²+bx+c=0 gilt x₁=(-b+V(b²-4ac))/(2a), x₂=(-b+V(b²-4ac))/(2a)

Beispiele:

2x²+3x+1=0 x₁=(-3+V(9-8))/4=(-3+1)/4=-0,5 x₂=(-3-V(9-8))/4=(-3+1)/4=-1

Zu beachten:

1. Die beiden Lösungen können zusammenfallen V(b²-4ac)=0

oder nicht existieren b²-4ac<0

2.

x²+x-1=0 a=1 b=1 c=-1; x²+x=0 a=1 b=1 c=0

3. Die Lösungen heißen auch Nullstellen des Terms in grafischer Darstellung geben sie die Schnittstellen mit der x-Achse an.

4. Mit Z_PLOTTER kann man die Probe machen, wobei man die Eingabemethode beachten muss:

Wurzel(zahl)=Math.sqrt(zahl), Quadrat zahl²=Math.pow(zahl,2)

Dabei sind gegebenenfalls noch allerhand Klammern zu beachten.

5. Hat man einen Term auf die Null-Form gebracht, kann man die Werte, für die der Term 0 ist, eventuell auch mit Z_PLOTTER näherungsweise bestimmen.

Zur Potenzrechnung:

Zunächst ist a+a=2a und a*a=a², a+a+a=3a und a*a*a=a³, ...

Im Sonderfall für positives a: a⁰=1, a¹=a, a^-1=1/a

Gesetze: a^b*a^c=a^b+c, (a*b)^c=a^c*b^c, (a^b)^c=a^b*c, a^b:a^c=a^b-c, (a:b)^c=a^c:b^c

Mittels Näherungsrechnung kann man a^b für positives a und beliebiges b berechnen.

z.B. 2^0,5 : 2^0,5=x |^2, 2=x², und x kann beliebig genau berechnet werden.

Für positives a und natürliches n heißt a^1/n n. Wurzel aus a.

Für positives a und b heißt die Lösung der Gleichung a^x=b

Logarithmus von b zur Basis a, _alog(b), z.B. ₁₀log(100)=2, da 10²=100

Dies wird aber erst in der Oberstufe bei der Exponentialfunktion benötigt.

Sowohl n. Wurzeln als auch Logarithmen kann man meist nur näherungsweise berechnen.