Задание 9
Планиметрия. Геометрические фигуры и их свойства
Характеристика задания
Задание 9 ОГЭ по математике открывает блок геометрических задач в типовом экзаменационном варианте. Это несложная планиметрическая задача в одно-два действия, проверяющая владение базовыми знаниями по теме «Треугольники». Для успешного решения задачи достаточно знать, чему равна сумма углов треугольника, что такое медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника, какова связь между длинами средней линии треугольника и параллельной ей стороны, уметь применять теорему Пифагора для вычисления одной из сторон прямоугольного треугольника по двум другим его сторонам, понимать, что такое равнобедренный и равносторонний треугольники, и уметь применять их простейшие свойства к решению задач. Напомним основные факты, связанные с треугольниками:
- сумма углов треугольника равна 180◦ ;
- внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника;
- высоты треугольника пересекаются в одной точке;
- биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром вписанной окружности треугольника);
- серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром описанной окружности треугольника);
- медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершин треугольника;
- средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине
В задании № 9 проверяется умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. По спецификации ОГЭ здесь могут встретиться задания, связанные с необходимостью нахождения длин, углов и площадей.
Проверьте, что вы не ошибаетесь в определениях тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.
Кроме того, убедитесь, что все данные задачи отражены на вашем чертеже. При необходимости применяйте теорему Пифагора. Если сюжет задачи развивается в равнобедренном треугольнике, то учтите, что высота, опущенная из вершины такого треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника и далее задача решается в прямоугольном треугольнике. Если события происходят в окружности, то, помимо всего прочего, надо учесть, что вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Пусть треугольник вписан в окружность. Если этот треугольник остроугольный, то центр окружности лежит внутри треугольника. Если этот треугольник тупоугольный, то центр окружности лежит вне треугольника. А если это прямоугольный треугольник, то центр окружности лежит на середине гипотенузы.
В 9 задании нам предстоит продемонстрировать свои знания в нахождении неизвестных элементов треугольника. Это могут быть углы, стороны, высоты, медианы или биссектрисы. Могут встретится задания на нахождение площади.
Многие задачи построены на нахождении медиан и биссектрис треугольника:
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.
- Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
- Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.
- Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Медиана:
Теперь вспомним основные формулы нахождения площади треугольника:
Во многих задачах встречается понятие средняя линия:
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
- Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
- Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного.
Теперь рассмотрим частные случаи треугольников - равнобедренный, равносторонний, прямоугольный.
Перейдем к рассмотрению равнобедренного треугольника:
Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого две стороны равны.
Свойства равнобедренного треугольника:
- Углы, при основании треугольника, равны.
- Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой.
Рассмотрим равносторонний треугольник:
Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны.
- Все углы равны 60°.
- Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
- Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Прямоугольный треугольник:
