Задание 8
Уравнения, неравенства и их системы
Характеристика задания
Задание 8 ОГЭ по математике представляет собой линейное или квадратное неравенство либо систему двух простейших линейных неравенств.
В задании № 8 проверяется умение решать уравнения, неравенства и их системы. Конечно, под такие слова подходит огромный спектр заданий. Уточнение, пожалуй, одно. Надо применять графическое представление решения и показа результатов этого решения. В демонстрационном варианте ОГЭ предложена система двух линейных неравенств и графические представления вариантов ответов. Полезно понимать, что главным здесь является решение конкретных неравенств и понимание геометрического смысла полученного решения.
Первый вариант задания
Укажите решение неравенства:
2 x - 3 ( x - 7) ≤ 3
Для решения линейного неравенства достаточно выполнить действия, аналогичные действию решений линейных уравнений. Однако, в отличие от линейных уравнений следует проявлять внимательность при выполнении операций деления или умножения на отрицательное число - в этих случаях знак неравенства будет меняться на противоположный!
Для решения этого примера вначале раскроем скобки, не забывая, что -3 умножается на -7 и дает + 21:
2 x - 3 x + 21 ≤ 3
Затем приводим подобные, перенося числа в правую сторону:
2 x - 3 x ≤ 3 - 21
- x ≤ -18
Нам необходимо умножить неравенство на -1, чтобы получить диапазон x, не забывая, что при этом меняется знак неравенства:
x ≥ 18
Таким образом, мы получаем, что x должен быть больше либо равен 18.
Ответ: [18; +∞)
Второй вариант задания
В данном случае мы имеем дело с квадратным неравенством:
Укажите множество решений неравенства:
7 x - x2 < 0
Существую несколько способ решения квадратных неравенств, но я приведу самый простой и надежный. В начале выносим x за скобку, так как это неполное квадратное неравенство: x ( 7 - x ) < 0
Затем наход им ноли функции x ( 7 - x ) = 0, приравнивая каждый множитель к нолю: x = 0
7 - x = 0
Получаем: x = 0 x = 7
Таким образом, мы получили три интервала:
( -∞ ; 0 ) , ( 0 ; 7 ). ( 7 ; +∞)
Подставим любое значение x из первого интервала и посмотрим на получившийся ответ.
Подставим -1:
x ( 7 - x ) = - 1 ( 7 - (-1) ) = -8
Значение отрицательно, значит в интервале ( -∞ ; 0 ) функция отрицательна, что нам и подходит для ответа, так как в условии: x ( 7 - x ) < 0
Подставим 1: x ( 7 - x ) = 1 ( 7 - 1 ) = 6
Значение положительно, и промежуток ( 0 ; 7 ) нам не подходит.
Подставим 8: x ( 7 - x ) = 8 ( 7 - 8 ) = - 8
Значение отрицательно, и это подходит под условия, следовательно ответ: ( -∞ ; 0 ) и ( 7 ; +∞)
Третий вариант задания
Рассмотрим еще один вариант восьмого задания ОГЭ по математике - решение системы линейных неравенств.
Укажите множество системы неравенств:
⌈ x - 4 ≥ 0
⌊ x - 0,3 ≥ 1
Решение системы линейных неравенств сводится к решению линейного неравенства с дальнейшим анализом промежутков. В начале действуем аналогично первому случаю: переносим числа в правую часть, оставляя x слева:
⌈ x ≥ 4
⌊ x ≥ 1,3
В отличие от первого примера, решение более простое, но в данном случае нужно сравнить промежутки и выбрать общий. Первое неравенство требует, чтобы x был больше 4, а второе - более 1,3, на координатной прямой это будет выглядеть следующим образом:
Промежутки перекрывают друг друга начина с 4, значит ответ выглядит следующим образом (не забываем, что неравенство нестрогое):
[ 4 ; + ∞ ) или
Четвертый вариант задания (демонстрационный вариант ОГЭ 2017)
Разберем 8 задание демонстрационного варианта ОГЭ по математике 2016 года.
Условие:
Решите систему неравенств:
На каком рисунке изображено множество её решений?
Решение:
Итак, решим систему неравенств - оставим х в левой части, а остальное перенесём в правую, получим:
х ≤ 0 -2,6
х ≥ 1 - 5
Вычислив, получаем ответ:
х ≤ -2,6
х ≥ -4
Найдем его на координатной прямой - это №2.
Ответ: 2
Теория к заданию №8
