Задание 8

Уравнения, неравенства и их системы

Теория Задания Тесты

Характеристика задания

Задание 8 ОГЭ по математике представляет собой линейное или квадратное неравенство либо систему двух простейших линейных неравенств.

В задании № 8 проверяется умение решать уравнения, неравенства и их системы. Конечно, под такие слова подходит огромный спектр заданий. Уточнение, пожалуй, одно. Надо применять графическое представление решения и показа результатов этого решения. В демонстрационном варианте ОГЭ предложена система двух линейных неравенств и графические представления вариантов ответов. Полезно понимать, что главным здесь является решение конкретных неравенств и понимание геометрического смысла полученного решения.

Первый вариант задания

Укажите решение неравенства:

2 x - 3 ( x - 7) ≤ 3

Для решения линейного неравенства достаточно выполнить действия, аналогичные действию решений линейных уравнений. Однако, в отличие от линейных уравнений следует проявлять внимательность при выполнении операций деления или умножения на отрицательное число - в этих случаях знак неравенства будет меняться на противоположный!

Для решения этого примера вначале раскроем скобки, не забывая, что -3 умножается на -7 и дает + 21:

2 x - 3 x + 21 ≤ 3

Затем приводим подобные, перенося числа в правую сторону:

2 x - 3 x ≤ 3 - 21

- x ≤ -18

Нам необходимо умножить неравенство на -1, чтобы получить диапазон x, не забывая, что при этом меняется знак неравенства:

x ≥ 18

Таким образом, мы получаем, что x должен быть больше либо равен 18.

Ответ: [18; +∞)

Второй вариант задания

В данном случае мы имеем дело с квадратным неравенством:

Укажите множество решений неравенства:

7 x - x2 < 0

Существую несколько способ решения квадратных неравенств, но я приведу самый простой и надежный. В начале выносим x за скобку, так как это неполное квадратное неравенство: x ( 7 - x ) < 0

Затем наход им ноли функции x ( 7 - x ) = 0, приравнивая каждый множитель к нолю: x = 0

7 - x = 0

Получаем: x = 0 x = 7

Таким образом, мы получили три интервала:

( -∞ ; 0 ) , ( 0 ; 7 ). ( 7 ; +∞)

Подставим любое значение x из первого интервала и посмотрим на получившийся ответ.

Подставим -1:

x ( 7 - x ) = - 1 ( 7 - (-1) ) = -8

Значение отрицательно, значит в интервале ( -∞ ; 0 ) функция отрицательна, что нам и подходит для ответа, так как в условии: x ( 7 - x ) < 0

Подставим 1: x ( 7 - x ) = 1 ( 7 - 1 ) = 6

Значение положительно, и промежуток ( 0 ; 7 ) нам не подходит.

Подставим 8: x ( 7 - x ) = 8 ( 7 - 8 ) = - 8

Значение отрицательно, и это подходит под условия, следовательно ответ: ( -∞ ; 0 ) и ( 7 ; +∞)

Третий вариант задания

Рассмотрим еще один вариант восьмого задания ОГЭ по математике - решение системы линейных неравенств.

Укажите множество системы неравенств:

⌈ x - 4 ≥ 0

⌊ x - 0,3 ≥ 1

Решение системы линейных неравенств сводится к решению линейного неравенства с дальнейшим анализом промежутков. В начале действуем аналогично первому случаю: переносим числа в правую часть, оставляя x слева:

⌈ x ≥ 4

⌊ x ≥ 1,3

В отличие от первого примера, решение более простое, но в данном случае нужно сравнить промежутки и выбрать общий. Первое неравенство требует, чтобы x был больше 4, а второе - более 1,3, на координатной прямой это будет выглядеть следующим образом: