Задание 6

Прогрессии и последовательности

Характеристика задания

Задание 6 ОГЭ по математике представляет собой задачу на числовые последовательности, прежде всего на арифметическую или геометрическую прогрессию, но не только. Напомним, что числовой последовательностью называется набор чисел, для которых указан порядок их следования, т. е. каждому из чисел набора приписан определённый порядковый номер, причём любые два числа из набора (даже если они равны) имеют разные номе- ра. Иными словами, последовательность — не что иное, как функция, определённая на множестве натуральных чисел. График такой функции представляет собой множество точек с натуральными абсциссами, ординаты которых находятся по определённому правилу. Это правило, как и в случае любой другой функции, может быть дано в виде описания, таблицы, формулы либо даже сразу в виде самого графика. Обычно последовательность обозначается так: (an ) или так: {an}. Скобки указывают именно на обозначение последовательности, а их отсутствие, т.е. запись an , означает, что речь идёт об n-м члене последовательности. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называемым разностью прогрессии. Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: положительным, отрицательным, нулём. Таким образом, для того чтобы однозначно определить арифметическую прогрессию, достаточно знать какой-то её член и разность, т. е. арифметическая прогрессия задаётся двумя элементами. В самых простых и стандартных случаях это первый член прогрессии и её разность. На числовой прямой члены арифметической прогрессии с разностью, отличной от нуля, изображаются точками, расстояние между двумя любыми соседними из которых равно|d|.

При решении некоторых задач могут оказаться полезными следующие свойства, также вытекающие из определения арифметической прогрессии:

  • сумма двух любых членов арифметической прогрессии равна сумме двух любых других её членов с той же суммой индексов;
  • каждый член арифметической прогрессии начиная со второго есть среднее арифметическое двух равноотстоящих от него членов этой прогрессии; в частности, каждый член арифметической прогрессии начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов этой прогрессии.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность (bn ), первый член которой отличен от нуля, а любой другой её член равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности отличное от нуля число q, называемое знаменателем прогрессии.

Таким образом, для того чтобы однозначно определить геометрическую прогрессию, достаточно знать какой-то её член и знаменатель, т. е. геометрическая прогрессия, как и арифметическая, задаётся двумя элементами. В самых простых и стандартных случаях это первый член прогрессии и её знаменатель. В более сложных задачах по данным условия можно составить два равенства (уравнения), которые позволят найти b1 и q, а уже затем с их помощью вычислить искомую величину.

Если же знаменатель геометрической прогрессии равен 1, то все её члены равны первому и Sn =n · b1 .

Напомним ещё два свойства, которые могут оказаться полезными при решении ряда задач:

  • произведение двух любых членов геометрической прогрессии равно произведению двух любых других её членов с той же суммой индексов;
  • квадрат каждого члена геометрической прогрессии начиная со второго равен произведению двух равноотстоящих от него членов этой прогрессии;

В шестом задании мы сталкиваемся с прогрессиями - общими понятиями.

Конечно, по каждой теме можно придумать очень сложные задачи, но на самом ОГЭ по этой теме они обычно простые.Главным здесь является понимание, что такое арифметическая и что такое геометрическая прогрессия.

Ответом в задании 1 является целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор типовых вариантов задания №6 ОГЭ по математике.