Bolsas Novos Talentos da Fundação Calouste Gulbenkian - Matemática
Programa dos dias 22 e 23 de março de 2024
(2.º Workshop, online)´
link zoom: https://videoconf-colibri.zoom.us/j/98013865236?pwd=bUbbussOlPdDZhk6tSSRdx6xAfd5cn.1
Sábado
9:15 – 09:20 Abertura
09:20 - 09:35 - Filipe Santos (1.º ano mestrado IST/UL): A Equação de Wong
Resumo: E se a carga elétrica fosse um vetor? Nesta apresentação, respondemos a esta pergunta, e tentamos perceber qual seria o comportamento de um sistema de N partículas carregadas sujeitas a um campo elétrico generalizado.
09:40 - 09:55 - Afonso Alves (1.º ano mestrado IST/UL): Revoluções no Caos de Buracos Negros
Resumo: Muito recentemente, fundamentada pela classificação de buracos negros, a correspondência holográfica motivou o estudo de espaços de Hibert e da sua cohomologia. O objetivo deste trabalho é aplicar essas ideias à teoria de gravidade N=2 Super JT, descrevendo a teoria ABJM sob dadas restrições.
10:00 - 10:15 - Gil Melo (2.º ano IST/UL): Isometrias parciais e espaços invariantes
Resumo: Esta apresentação incide sobre espaços de operadores num espaço de Hilbert que deixam invariante uma dada família totalmente ordenada de isometrias parciais. Apresentamos condições necessárias e suficientes para que tais espaços formem uma álgebra, e discutimos resultados recentes sobre estas álgebras.
10:20 - 10:35 - Dinis Pratas (2º ano FCT/UNL): Introdução à Teoria Espectral e invertibilidade de Operadores de Laurent/Toeplitz
Resumo: Teoria de Operadores é uma área predominante do meio académico atual, sendo o seu estudo em espaços de Hilbert de extrema importância. Com esta apresentação pretendo expor alguns conceitos de Teoria de Operadores, bem como fornecer uma breve introdução a uma classe particular de operadores em que me irei focar até ao resto do programa. Começaremos por falar no conceito de bases ortonormadas e séries de Fourier, avançando de seguida para a introdução de certos tipos de operadores importantes na nossa discussão. Apresentarei também alguns conceitos que nos permitirão fazer um estudo adequado da invertibilidade de equações envolvendo estes operadores. Por fim, farei uma breve introdução a operadores de Laurent e Toeplitz em ell^2(Z) e ell^2 respectivamente, aplicando alguns dos conceitos apresentados previamente.
10:40 - 11:00 Pausa
11:00 - 11:50 - António Girão (Universidade de Oxford): Combinatorics: an overview
Abstract: In recent years combinatorial methods have proved very useful in tackling many problems in various areas of Mathematics. In this talk, I will give an overview of some combinatorial ideas and techniques always guided by a concrete open conjecture or problem.
12:00 - 12:15 - Luís Barbosa (2.º ano FE/UP): Análise Neuronal de Componentes Principais
Resumo: A Análise de Componentes Principais (ACP) permite realizar num conjunto de dados sob a forma de "embedding" uma transformação linear de tal forma que os eixos saiam ordenados por importância, o que pode ser usado para compressão e identificação de características relevantes nos dados. O trabalho apresentado recria a ACP utilizando redes neuronais, um primeiro passo para a introdução de não-linearidade e outras melhoras na ACP.
12:20 - 12:35 - Bianca Correia (2.º ano ISTCE): Teorema de Aproximação Universal para KANs
Resumo: Pretendemos neste trabalho responder à questão: Estarão as funções contínuas contidas nas KAN? Para isso, reintroduzimos o tema com uma breve explicação sobre as MLPs e as KANs, apresentamos sucintamente a prova do Teorema de Aproximação Universal (TAU) para as MLPs e as demonstrações relativas ao TAU para KANs, considerando o espaço das "funções base" os splines e os polinómios.
12:40 - 12:55 - Mariana Costa (3.º ano IST/UL): Grafos expansores e a conjetura de Alon
Resumo: Nesta apresentação, discutimos grafos expansores e a Conjetura de Alon, que estabelece um limite para o segundo valor próprio da matrix de adjacência de um grafo gerado aleatóriamente. Em particular, analisamos uma demonstração desta conjetura baseada no trace method, destacando os principais passos da argumentação.
13:00 - Fim do primeiro dia
Domingo
09:20 - 09:35 - Laura Guerreiro (2.º ano IST/UL): Atirar uma moeda ao ar com teoria de jogos
Resumo: Nesta apresentação iremos apresentar o conceito de Game-theoretically fair coin tossing com vários participantes, alguns deles corrompidos, discutindo especialmente o modelo em que cada participante fala apenas uma vez. Analizaremos tanto cenários em que o adversário tem capacidade ilimitada - Information-Theoretic -, quuanto cenários em que o adversário é limitado computacionalmente - Computational Setting -, discutindo para que valores n de participantes e t corrupções é possível criar protocolos seguros.
09:40 - 09:55 - Rafael Inácio (2.º ano FC/UP): Padrões de Crescimento de s
Resumo: A função s(n) soma os divisores próprios de cada número natural n. Sobre o sistema dinâmico gerado por s, não se sabe se as órbitas são todas limitadas. Em particular, para números tão pequenos como 276, ainda não se provou se as respetivas órbitas têm máximo. Apesar da dificuldade em resolver este problema, há indícios de que, em média, as órbitas decrescem. Por outro lado, estudos numéricos recentes sugerem que os termos tendem a crescer. Nesta apresentação, divulgarei mais detalhes sobre o que conhece acerca do crescimento das órbitas de s.
10:00 - 10:15 - David Furtado (1º ano mestrado FCT/UC): Espaços de Funções
Resumo: Fundamentos e alguns resultados sobre espaços de funções, como por exemplo espaços de Sobolev.
10:20 - 10:35 - Pedro Moreira (3.º ano FC/UP): Irracionalidade e Aproximações Diofantinas
Resumo: Será apresentada uma dicotomia que advém da integrabilidade do logaritmo da função quociente parcial, relativamente a medidas “continued fraction mixing” para a transformação de Gauss.
10:40 - 10:55 - Filipe Almeida (3º ano IST/UL): Pode um gráfico de uma função contínua ter dimensão diferente de 1?
Resumo: Nesta apresentação, mostraremos, primeiro, como funções reais de variável real, com regularidade lipschitziana, têm gráficos de dimensão um, como subconjuntos do plano cartesiano. Pelo que, necessariamente, para se obterem gráficos de funções contínuas com dimensão superior, há que investigar funções contínuas não diferenciáveis. A clássica família de funções de Weierstrass, contínuas com regularidade Hölder, mas não diferenciáveis em ponto algum, são o exemplo mais famoso e paradigmático, que mostraremos ter gráficos de dimensão fractal entre 1 e 2. Terminaremos com outro exemplo de função contínua, mas não diferenciável em quase toda a parte: a função de Riemann.
11:00 - 11:20 Pausa
11:20 - 11:35 - Tiago Morgadinho (3.º ano ISEG/UL): O Problema de Siegel
Resumo: A apresentação irá incidir na exposição dos resultados teóricos necessários para uma compreensão do problema de Siegel, como é caso de resultados no domínio das séries formais utilizadas para representar uma função como um tuplo de dimensão infinita.
11:40 - 11:55 - Tiago Mourão (3.º ano IST/UL): Teorema de Abel
Resumo: O Teorema de Abel diz que não existe uma fórmula resolvente por radicais para polinómios de grau maior ou igual a 5. Nesta apresentação, iremos dar a ideia geral duma demonstração topológica deste teorema, usando espaços de revestimento. E explicaremos o porquê do número "5" ser tão especial.
12:00 - 12:15 - Rafael Moreira (3.º ano FC/UP): Anéis de inteiros de corpos numéricos quadráticos
Resumo: Nesta apresentação, vou explicar um algoritmo que nos permite determinar, em tempo finito, quando um anel de inteiros de um corpo numérico quadrático é ou não um DIP. Também vou apresentar semelhanças e diferenças com o caso das álgebras de quaterniões.
12:20 - 12:35 - Jaouen Ramalho (2.º ano FC/UL): Teorema dos Números Primos via Lema de Newman
Resumo: O Teorema dos Números Primos (TNP) descreve a distribuição assintótica dos números primos, fornecendo uma estimativa para a quantidade de primos menores que um dado número real positivo. Conjeturado por Gauss, após passar pelas mãos de Chebyshev e Riemann, o teorema foi finalmente demonstrado independentemente por Hadamard e de la Vallée Poussin em 1896, utilizando análise complexa e o facto que a função zeta de Riemann não se anula para ℜ(z)≥1. Dada a sua importância, outras demonstrações surgiram. Em 1949, Selberg e Erdös apresentaram provas elementares, isto é, que não utilizam análise complexa. Já em 1980, Newman propôs uma abordagem inovadora e concisa, baseada somente em análise complexa básica e num teorema tauberiano para a transformada de Laplace, conhecido como Lema de Newman. Nesta apresentação, explorarei esse lema e a sua aplicação à demonstração do TNP, destacando a sua elegância e simplicidade em relação às abordagens clássicas.
12:40-12:55 - Francisco Cunha (3.º ano IST/UL): Funções que preservam analogias
Resumo: Funções que preservam relações: conexão de Galois e condições de fecho. Aplicação aos classificadores analógicos. O caso da analogia em média generalizada de potência p: caracterização explícita dos classificadores analógicos neste modelo. Estimativa de erro cometido ao usar o princípio de inferência analógica para funções a uma distância positiva da classe de funções que preservam analogias (AP).
13:00 - Encerramento
Bolseiros e tutores para 2024/25:
Lista de eventos em 24/25 (possibilidades para o uso dos 1500€ para atividades de enriquecimento pessoal):
4th Portuguese Number Theory meeting: Aveiro's summer school 2025, 1-5 Setembro 2025, https://sweet.ua.pt/apacetti/EPTN/2025/
Escola de verão de Perugia (Itália), 21/07-14/08: https://www.smi-math.unipr.it/perugia-2021/15/
Function Spaces and Applications XIII – Spring School on Analysis 2025 – escola de primavera sobre tópicos da análise funcional a decorrer em Paseky nad Jizerou, República Checa, entre os dias 1 e 7 de junho (pasekyspringschool.matfyz.cz)
LxDS Spring School 2025 (Sistemas Dinâmicos), ISEG, Lisboa, 28-30 maio 2025, https://sites.google.com/view/lxds-ss-2025/
Workshops 2024/25
Programa do dia 14 de Dezembro de 2024
(1.º Workshop, no hotel Vila Galé em Coimbra)
Sessão paralela da área da Matemática:
9:00- Apresentação
9:10 Palestra de Bruno Loff (Professor na FC/UL): A invenção do computador.
10:00 - Palestra de Dantas Serra (bolseiro em 22/23 e 23/24): Como foi o programa Novos Talentos?
10:30 - 11:15: Coffee break
Continuação dos trabalhos (5 minutos apresentação + 5 minutos de discussão)
11:15 - Jaouen Ramalho (2.º ano FC/UL): Tauber, Newman e o Teorema dos números primos
11:25 - David Furtado (1º ano mestrado FCT/UC): Números de Entropia
11:35 - Laura Guerreiro (2.º ano IST/UL): Como atirar uma moeda ao ar
11:45 - Francisco Cunha (3.º ano IST/UC): Analogias - formalizações, propriedades e aplicações
11:55 - Dinis Pratas (2.º ano FCT/UNL): Operadores de Toeplitz em l^2
12:05-12:20 Pausa
12:20 - Gil Melo (2.º ano IST/UL): Hilbert space operators and invariant subspaces
12:30 - Rafael Inácio (2.º ano FC/UP): Interpretação probabilística da conjetura de Catalan
12:40 - Rui Rodrigues (2.º ano FC/UL): Semigrupos finitos como divisores de grupos e semigrupos aperiódicos
13:00 - 14:30: Almoço
14:30 - Rafael Moreira (3.º ano FC/UP): Fatorização em Álgebras de Quaterniões
14:40 - Tiago Mourão (3.º ano IST/UL): A razão topológica do Teorema de Abel
14:50 - Pedro Moreira (3.º ano FC/UP): Teoria Ergódica das Frações Contínuas
15:00 - Filipe Almeida (3º ano IST/UL): Dimensão de Hausdorff e conjuntos fractais
15:10 -15:30 Pausa
15:30 - Mariana Costa (3.º ano IST/UL): Grafos expansores e aplicações
15:40 - Afonso Alves (1.º ano mestrado IST/UL): ABJM não-perturbativo
15:50 - Bianca Correia (2.º ano ISTCE): As KAN: as substitutas dos MLP?
16:00 - 16:30: Coffee break
16:30 - Luís Barbosa (2.º ano FE/UP): Aprendizagem de representação
16:40 - Tiago Morgadinho (3.º ano ISEG/UL): O Problema de Siegel
16:50 - Filipe Santos (1.º ano mestrado IST/UL): A Equação de Wong
17:00 - Encerramento da sessão da Matemática
18:00 Cocktail
19:30 Jantar
Contactos:
Informações gerais sobre o Programa: talentos@gulbenkian.pt
Membros da Comissão Científica da área da Matemática:
Hugo Tavares (IST/UL) e Jorge Milhazes de Freitas (FC/UP)
Alguns programas relacionados em todo o mundo
Ciência Viva (Ministério da Ciência e da Tecnologia)
Bolsas de Integração na Investigação (Fundação para a Ciência e a Tecnologia)
Olimpíadas Portuguesas da Matemática (Sociedade Portuguesa da Matemática)
Projecto Delfos (Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra)
MASS Program (Pennsylvannia State University)
Math in Moscow (Independent University of Moscow)
Millennium Mathematics Project (University of Cambridge)
William Lowell Putnam Mathematical Competition (USA)
Conférences Goutelas-élèves (France)
Contemporary Mathematics Summer School (Dubna)
The Ross Mathematics Program (Ohio State University)
MIT-Primes (MIT)
Página da AMS com informação para estudantes (American Mathematical Society)