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研究

単振子やコマの方程式、ニュートンによって解かれた重力場の2体問題は可積分なハミルトン力学系であるが、これらの偏微分方程式あるいは無限自由度系への拡張とみなされる一群の連続・離散の方程式を一般に可積分系(integrable systems)という。1960年代から1980年代にかけて数理物理学や代数解析学等の観点から可積分系の研究は大きく進展した。可積分系のあるものはソリトン解をもち水の波に代表される普遍的な自然現象を記述することが知られている。可積分系研究はコンピュータの発達を契機として発展した数学分野である。

中村は可積分系数学の研究者であるが、工学系、情報系研究科の研究室を率いる中で数学の有用性を明らかにする応用可積分系(applied integrable systems)分野の設立に関わってきた。とりわけ、離散化された可積分系を種々の数値計算に応用して新しい算法を定式化する「可積分アルゴリズム」という応用数学の研究領域を提唱するとともに、その一例として、特異値計算と特異ベクトル計算からなる新しい特異値分解法(Singular Value Decomposition)を開発した。特異値分解はデータの特徴を損ねることなく次元圧縮したり、データのクラスタリングに利用されるデータサイエンスの中核的な技術である。 特異値分解は行列で表現される特徴を可能な限り損ねることなく次元を圧縮するために利用され、機械学習だけでなく多次元の特徴を扱う画像処理、自然言語処理、信号処理、データ検索、擬似逆行列を通じた最小二乗法などに広く応用されている。

行列の特異値分解ではQR法が標準解法であるが、計算された特異値の相対精度は保証されておらず、計算量が多く、並列化が困難という欠点がある。また、分割統治(D&C)法は高速ではあるが、特異値の相対精度が大きく悪化することがある。そこで、中村は研究協力者や大学院生との継続的な共同研究により、行列のLR分解／変換を重視し、離散可積分系(dLV)による特異値計算、原点シフトによる高速化mdLVs、dLV型ツイスト分解による高精度な特異ベクトル計算（日米欧で特許化）、特異ベクトル計算部の並列化、スパース行列の特異値分解のための前処理法の開発、直交QD法やJacobi法による高精度な特異値計算を先導し、その実装コードの開発とライブラリ公開をしてきた。可積分な特異値分解アルゴリズム(I-SVD)は、特異値分解を特異値計算部と特異ベクトル計算部に分離し、前者を離散可積分系mdLVs法、後者を同じくdLV型ツイスト分解法で実行することで、特異値の相対精度が保証され、特異ベクトル計算の桁落ちが回避される新しい特異値分解法である。 

中村 佳正 (Yoshimasa Nakamura) - マイポータル - researchmap 

最近の論文

K. Kimura, Y. Yamamoto, Y. Hirota, M. Takata, T. Yamashita, Y. Nakamura, Convergence analysis of the generalized Newton shift for, computing singular values with the dqds algorithm,  Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 42(2025), https://doi.org/10.1007/s13160-025-00689-3

M. Chiyonobu,  M. Takata,  K. Kimura, Y. Nakamura, Fast computation method for stopping condition of range restricted GMRES method, 30th International Conference, PDPTA 2024, Held as Part of the World Congress in Computer Science, Computer Engineering and Applied Computing, CSCE 2024, pp. 306-317, 2025. https://doi.org/10.1007/978-3-031-85638-9_23

M. Chiyonobu,  M. Takata,  K. Kimura, Y. Nakamura, Implementation of the OQDS method for principal component analysis, Parallel and Distributed Processing Techniques, 30th International Conference, PDPTA 2024, Held as Part of the World Congress in Computer Science, Computer Engineering and Applied Computing, CSCE 2024, pp. 333-346, 2025. https://doi.org/10.1007/978-3-031-85638-9_24

M. Chiyonobu, T. Miyamae, M. Takata, J. Harayama, K. Kimura, Y. Nakamura, Singular value decomposition for complex matrices using two-sided Jacobi method, Journal of Supercomputing, 80(2024), 11719-11740

A. Ueda, M. Iwasaki, Y. Nakamura, Discrete Lotka-Volterra with shift algorithm for computing matrix eigenvalues and singular values, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 40(2023), 1501-1518,  https://doi.org/10.1007/s13160-023-00583-w

M. Shinjyo, A. Fukuda, K. Kondo, Y. Yamamoto, E. Ishiwata, M. Iwasaki and Y. Nakamura, Discrete hungry integrable systems — 40 years from the Physica D paper by W.W. Symes, Physica D: Nonlinear Phenomena 439(2022), 133422, https://doi.org/10.1016/j.physd.2022.133422

Y. Yamamoto, A. Fukuda, S. Kakizaki, E. Ishiwata, M. Iwasaki, Y. Nakamura, Box and ball system with numbered boxes, Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 25 (2022), https://doi.org/10.1007/s11040-022-09425-6

M. Takata, T. Akiyama, S. Araki, H. Ishigami, K. Kimura and Y. Nakamura, Accelerating the numerical computation of positive roots of polynomials using suitable combination of lower bounds, IPSJ Trans. Math. Modeling Appl. 15(2022), 18-30

M. Shinjo,Tan Wang, M. Iwasaki and Y. Nakamura, Roots of characteristic polynomial sequences in iterative block cyclic reductions, Mathematics, 9(2021), 3213

H. Tanaka, T. Kimura, T. Matsunawa, S. Mimotogi, M. Takata, K. Kimura, Y. Nakamura, Application of the orthogonal QD algorithm with shift to singular value decomposition for large sparse matrices, in: Advances in Parallel & Distributed Processing, and Applications 2021, Proceedings from PDPTA’20, CSC’20, MSV’20, and GCC’20, Hamid R. Arabnia et al. Eds., Springer, pp. 697-712.

M. Takata, S. Araki, T. Miyamae, K. Kimura and Y. Nakamura, On an implementation of the one-sided Jacobi method with high accuracy, IPSJ Trans. Math. Modeling Appl. 14(2021), 68-75

S. Araki, M. Aoki, M. Takata, K. Kimura and Y. Nakamura, On an implementation of the two-sided Jacobi method, IPSJ Trans. Math. Modeling Appl. 14(2021), 12-20

A. Fukuda, Y. Yamamoto, M. Iwasaki, E. Ishiwata and Y. Nakamura, Convergence acceleration of the shifted LR transformations for totally non-negative Hessenberg matrices, Appl. Math. 65(2020), 677-702, DOI:10.21136/AM.2020.0378-19

K. Sawa and Y. Nakamura, Extension of the Lanczos-Phillips algorithm with Laurent biorthogonal polynomials and its application to the Thron continued fraction, JSIAM letters, 12(2020), 1-4, DOI: 10.14495/jsiaml.12.1

Y. Takae, M. Takata, K. Kimura, and Y. Nakamura, A discrete three-wave system of Kahan-Hirota-Kimura type and the QRT mapping, in: Proc. PDPTA2019, pp.142-148.

M. Aoki, M. Takata, K. Kimura, and Y. Nakamura, Improvement of the thick-restart Lanczos method in single precision  floating point arithmetic using Givens rotations, in: Proc. PDPTA2019, pp.149-155.

S. Araki, M. Takata, K. Kimura and Y. Nakamura, On an implementation of two-sided Jacobi method, in: Proc. PDPTA2019, pp.156-162.

K. Sawa and Y. Nakamura,  Application of the Lanczos-Phillips algorithm to continued fractions and its extension with orthogonal polynomials, JSIAM letters, 10(2018), 57-60, DOI: 10.14495/jsiaml.10.57

Y. Nakamura and H. Sekido, An application of the discrete-time Toda lattice to the progressive algorithm by Lanczos and related problems, J. Phys. A, 51(2018), 174001，DOI: 10.1088/1751-8121/aab7fe

M. Shinjo, M. Iwasaki and Y. Nakamura, Asymptotic analysis of non-autonomous discrete hungry integrable systems, J. Integrable Systems, 3(2018), xyy001,  DOI: 10.1093/integr/xyy001

M. Takata, S. Araki, K. Kimura, Y. Fujii and Y. Nakamura, Implementation of computing partial singular value decomposition for principal component analysis using ARPACK, IPSJ Transactions on Mathematical Modeling and Its Applications 11(2018), 1-8.

K. Akaiwa, Y. Nakamura, M. Iwasaki, A. Yoshida and K. Kondo, An arbitrary band structure construction of totally nonnegative matrices with prescribed eigenvalues, Numerical Algorithms, 75(2017), 1079-1101, DOI: 10.1007/s11075-016-0231-7

M. Shinjo, M. Iwasaki, K. Akaiwa and Y. Nakamura, An extended Fibonacci sequence associated with the discrete hungry Lotka-Volterra system, International Journal of Biomathematics, 10, 1750043 (2017) [16 pages] . DOI: 10.1142/S1793524517500437

A. Tobita, A. Fukuda, E. Ishiwata, M. Iwasaki and Y. Nakamura, Monotonic convergence to eigenvalues of totally nonnegative matrices in an integrable variant of the discrete Lotka-Volterra system, Lecture Notes in Computational Science and Engineering (LNCSE) Vol. 117, Springer, 2017, pp. 157-169.

H. Ishigami, H. Hasegawa, K. Kimura, and Y. Nakamura, A parallel solver based on bisection and inverse iteration for computing a subset of eigenpair of symmetric band matrices, Lecture Notes in Computational Science and Engineering (LNCSE) Vol. 117, Springer, 2017, pp. 30-50.

M. Nagata, M. Hada, M. Iwasaki and Yoshimasa Nakamura, Eigenvalue clustering of coefficient matrices in the iterative stride reductions for linear systems, Computers and Mathematics with Applications 71(2016), 349-355, DOI: 10.1016/j.camwa.2015.11

Y. Nakanishi, Y. Minesaki and Y. Nakamura, Accurate numerical integration algorithm for the Kepler motion, Josai Mathematical Monographs, 9(2016), 135-145. 

M. Shinjo, M. Iwasaki, A. Fukuda, E. Ishiwata, Y. Yamamoto and Y. Nakamura, An asymptotic analysis for an integrable variant of the Lotka-Volterra prey-predator model via a determinant expansion technique, Cogent Mathematics, 2(2015), 1046538

K. Akaiwa, Y. Nakamura, M. Iwasaki, H. Tsutsumi, K. Kondo, A finite-step construction of totally nonnegative matrices with specified eigenvalues, Numerical Algorithms, 70(2015), 469-484, DOI 10.1007/s11075-015-9957-x

S. Kakizaki, A. Fukuda, Y. Yamamoto, M. Iwasaki, and Y. Nakamura, Conserved quantities of the integrable discrete hungry systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems S (DCDS-S), Ameri. Inst. Math. Sci. 8(2015), 889-899, Doi: 10.3934/dcdss.2015.8.889

S. Araki, K. Kimura, Y. Yamamoto and Y. Nakamura, Implementation details of an extended oqds algorithm for singular values, JSIAM Letters, 7(2015), 9-12.

K. Akaiwa, M. Iwasaki, K. Kondo and Y. Nakamura, A tridiagonal matrix construction by the quotient difference recursion formula in the case of multiple eigenvalues, Pacific J. Math. Indust., 6(2014), 21-29.

M. Nagata, M. Iwasaki and Y. Nakamura, Accurate similarity transformation derived from the discrete Lotka-Volterra system for bidiagonal singular values, Calcolo 51(2014), 305-317, DOI 10.1007/s10092-013-0085-5

福田, 岩崎, 山本, 石渡, 中村, ハングリー型の離散可積分系と非対称行列の固有値計算-可積分アルゴリズムにおける最近の発展-, 日本応用数理学会論文誌, 23(2013), 109-181.

Y. Takahashi, M. Iwasaki, A. Fukuda, E. Ishiwata, Y. Nakamura, An application of centre manifold theory to the qd-type discrete Lotka-Volterra system, Applicable Analysis, 92(2013), 586-594.

A. Fukuda, Y. Yamamoto, M. Iwasaki, E. Ishiwata and Y. Nakamura, On a shifted LR transformation derived from the discrete hungry Toda equation, Monatshefte fur Mathematik. 170(2013), 11-26.

A. Fukuda, E. Ishiwata, Y. Yamamoto, M. Iwasaki and Y. Nakamura, Integrable discrete hungry systems and their related matrix eigenvalues, Ann. Mat. Pura Appl., 192(2013), 423-445.

専門書＆啓蒙書

数理工学の世界（編集）日本評論社, 2019, ISBN978-4-535-78883-1

固有値計算と特異値計算（共著）丸善出版, 2019, ISBM978-4-621-30473-0

解析学百科：可積分系の数理（共著）朝倉書店, 2018, ISBN978-4-254-11727-1

数値線形代数の数理とHPC（共著）共立出版, 2018, ISBN978-4-320-01955-3

この数学がおもしろい（共著）数学書房, 2011, ISBN978-4903342641

可積分系の機能数理（単著）共立出版, 2006, ISBN4-320-01804-4

可積分系の応用数理（共著）裳華房, 2000, ISBN4-7853-1520-2

表彰 ・受賞

・2006年 ハイパフォーマンスコンピューティングと計算科学シンポジウム（HPCS2006）最優秀論文賞，誉田太朗，高田雅美，岩崎雅史，中村佳正，「分割統治法とツイスト分解法による新しい特異値分解アルゴリズム」，（社）情報処理学会 

・2009年 ハイパフォーマンスコンピューティングと計算科学シンポジウム（HPCS2006）最優秀論文賞，深谷猛，山本有作，畝山多加志，中村佳正，「正方行列向け特異値分解のCUDA による高速化」（社）情報処理学会 

・2014, 孜々賞, 京都大学

・2016年, フェロー, 日本応用数理学会

・2021年, 名誉教授, 京都大学

特許

・第4325877号　「行列の高速高精度特異値分解法，プログラムおよび装置」2005年出願（2009年登録）中村佳正，岩崎雅史，阪野真也

・米国特許Patent No.US8306361B1, High-speed high-accuracy matrix singular value decomposition method, program, and device, 2005年出願（2006年登録）Yoshimasa Nakamura, Masashi Iwasaki, Shinya Sakano

・カナダ特許Patent No. CA2568852C, High-speed high-accuracy matrix singular value decomposition method, program, and device, 2005年出願（2006年登録）Yoshimasa Nakamura, Masashi Iwasaki, Shinya Sakano

・EP（英，独，仏）特許：EP05746027, High-speed high-accuracy matrix singular value decomposition method, program, and device, 2005年出願（2007年登録）Yoshimasa Nakamura, Masashi Iwasaki, Shinya Sakano

・第4649635号「画像特徴抽出方法および画像圧縮方法」2006年出願（2010年登録）中村佳正，岩崎雅史，小幡雅彦, 近藤弘一, 笹田昇平

・米国特許Patent No.US 8160368B2, Image feature extraction method and image compression method 2007年出願（2012年登録）Yoshimasa Nakamura, Masashi wasaki, Masahiko Obata, Koichi Kondo, Shohei Sasada

 ・特許第5011545号「特異値分解装置、及び特異値分解方法」2005年出願（2012年登録）中村佳正，誉田太朗, 岩崎雅史, 阪野真也, 高田雅美

 ・特許第5017666号「固有値分解装置、及び固有値分解方法」2006年出願（2012年登録）中村佳正，坪井洋明, 誉田太朗, 岩崎雅史, 高田雅美

・米国特許Patent No.US US8255447B2, Eigenvalue decomposition apparatus and eigenvalue decomposition method, 2006年出願（2012年登録) Yoshimasa Nakamura , Tsuboi Hiroaki, Taro Konda, Masashi Iwasaki, Masami Takata 

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