Metody wyznaczania liczby π

Liczba π jest używana w matematyce do wielu różnych obliczeń. Do tej pory nie jest jasne ile ona tak naprawdę wynosi. Istnieje wiele różnych metod, które pozwalają je wyznaczyć, ale każda z nich różni się wynikiem. W niniejszym artykule zostały przedstawione niektóre z nich.

Metoda Gauss–Legendre

Metoda Gauss–Legendre wykorzystuje w trakcie obliczeń właściwości średnich arytmetycznych oraz harmonicznych. Pozwala ona na wyznaczenie 45 milionów cyfr liczby π po zaledwie 25 iteracjach. Innymi słowy wystarczy zaledwie kilka iteracji, aby standardowe biblioteki wypisywały błędne wyniki nie z powodu ograniczeń metody wyznaczania, a metody przechowywania danych.

Metoda Monte Carlo

Jednym z ciekawszych zastosowań metody Monte Carlo jest próba oszacowania przybliżonej wartości liczby Pi, czyli policzenia liczby punktów, które trafiły w koło wpisany w kwadrat. Wydaje się to prostym zadaniem jednak aby to zrobić, potrzebujemy pewnych informacji na temat pola powierzchni koła.

Po pierwsze zobacz rysunek z prawej. Widać tam kwadrat o boku długości a = 2 oraz koło, które posiada taką samą średnicę. Wynika z tego, że jego promień r = 1. Teraz wystarczy przypomnieć sobie, jak wygląda wzór na pole koła:

Pole koła = π * r2

Gdy pod r podstawione zostanie 1, to pole koła wyniesie π. Logicznie rzecz ujmując, im więcej pomiarów (punktów) zostanie wykorzystanych do oszacowania pola powierzchni koła, tym dokładniejszy otrzymamy wynik. Wystarczy zgodnie z regułą opisywaną na początku artykułu zebrać wszystkie punkty, które trafiły w koło, przemnożyć te punkty przez pole kwadratu i na końcu podzielić wynik przez liczbę wszystkich pomiarów, które zostały użyte.

Idea metody Monte Carlo przybliżająca wartość liczby Pi, sprowadza się do tego, iż będziemy losować dwie liczby, będą one stanowić współrzędne punktu tj. wartość x oraz y znajdujące się we wnętrzu kwadratu. Dla każdego wylosowanego punktu sprawdzamy, czy mieści się wewnątrz okręgu tj.: x2 + y2 < 1. Wszystkie punkty, które znajdują się wewnątrz okręgu należy naturalnie policzyć. Ponieważ stosunek pola okręgu do pola kwadratu wynosi pi/4, to łatwo podać wzór, który posłuży nam do obliczenia liczby pi, a będzie to 4 * k / n. Wielkość k to liczba punktów o współrzędnych x, y, które znajdują się wewnątrz okręgu, natomiast wartość n, to liczba wszystkich wylosowanych punktów.

Szereg Leibnitza

Specjalny ciąg matematyczny, który skonstruowano do przybliżenia wartości liczby pi:

Metoda Brouncker'a

Metoda Brouncker'a opiera się na nieskończonym ułamku, który dla stopnia złożoności n = 5 wygląda następująco:

Innymi słowy w celu wyznaczenia wartości liczby π wystarczy obliczyć ułamek i pomnożyć go razy 4. Wyliczenie ułamka upraszcza fakt, że w każdym kolejnym ułamku jest 2 plus potęga liczby nieparzystej podzielona przez następny ułamek. Dla uproszczenia (oraz żeby obliczenia miały swój koniec) należy przyjąć, że n ułamek, na samym dole całego wyrażenia będzie miał wartość

Inne metody eksperymentalne

Metoda 1 Ważenie figur

Wpiszmy jednak to koło w kwadrat. I zdajmy się na przyrodę, ona policzy pole za nas! Wystarczy jej to umożliwić, a jest na to bardzo wiele sposobów. Możemy np. wyciąć z papieru kwadrat, zważyć, po czym wyciąć z niego to wpisane koło i też zważyć. Stosunek wag odpowiadać będzie stosunkowi pól! Tym lepiej wyznaczymy więc pole, im dokładniej tniemy, im papier jest lepszy i im mamy lepszą wagę.

Metoda 2 Gra w rzutki

Inna metoda, to gra w rzutki! Przygotowujemy tarczę będącą kwadratem, w który wpisujemy koło. Stajemy teraz bardzo bardzo daleko od tarczy i rzucamy do niej rzutkami. Musimy stać naprawdę daleko, by tylko z rzadka trafiać w tarczę. Rzucamy tak długo, by trafić w tarczę kilkaset razy, powiedzmy 900.

Teraz wystarczy policzyć ile z tych trafień w kwadratową tarczę ulokowało się wewnątrz koła. Stosunek liczby wszystkich trafień w kwadratową tarczę (u nas 900), do liczby trafień we wpisane koło (w zilustrowanym powyżej eksperymencie to 709) da nam przybliżony stosunek pól kwadratu i tego koła!

Taka metoda należy do kategorii metod losowych, zwanych “metodami Monte Carlo”. Metody tego typu po raz pierwszy znalazły zastosowanie w obliczeniach komuterowych przeprowadzanych w ramach projektu opracowania broni termojądrowej. Pomysł pochodził od – wspominanego niedawno w naszych ciekawostkach – niezwykle utalentowanego Węgra Johna von Neumanna, oraz od pracującego z nim w USA Polaka Stanisława Ulama. Dziś takie metody są bardzo popularne i stosuje się je w wielu sytuacjach, np. w analizowaniu skomplikowanych modeli numerycznych, co jest bardzo pomocne dla inżynierów rozmaitych specjalności.

Metoda 3 Eksperyment z makaronem

Posłużymy się makaronem spaghetti, ugotowanym, ale jeszcze bez sosu. Weźmy nitkę makaronu, lub kilka o tej samej długości – niech ta długość to będzie L centymetrów. Narysujmy na kartce lub na podłodze, stolnicy czy innej płaskiej powierzchni wiele równoległych i równoodległych linii. Niech odległość między liniami wynosi D centymetrów. Nie jest ważne czy D<L czy na odwrót, ale niech D nie będzie zbyt małe ani zbyt duże.

Teraz trzeba rzucać nitki makaronu na tą powierzchnię i notować sobie 2 rzeczy: łączną liczbę wyrzuconych nitek (jeśli rzucamy za każdym razem jedną nitką, to jest ona równa liczbie przeprowadzonych prób, a jeśli np. dwiema, to podwojonej liczbie prób) oraz liczbę takich zdarzeń, że nitka przecięła którąś linię. Jeśli np. w kolejnej próbie rzucimy 3 nitkami i pierwsza upadnie między liniami, druga przetnie jakąś linię jeden raz i na żadną inną nie upadnie, a trzecia przetnie jedną linię dwukrotnie i przejdzie jeden raz przez jeszcze inną, to musimy zwiększyć liczbę rzutów o 3, a liczbę przecięć o 4.

Przybliżenie liczby pi wyliczymy mnożąc przez 2 liczbę wykonanych prób i wynik dzieląc przez liczbę przecięć nitek makaronu z liniami.