Antonio Avilés

(Universidad de Murcia)

La categoría de los retículos de Banach

Hablaremos sobre avances recientes en el estudio de los retículos de Banach desde una perspectiva categórica: objetos libres, proyectivos e inyectivos, sus relaciones con los espacios de Banach y otros.

Guille Carrión Santiago

(Universidad Autónoma de Barcelona)

Límites superiores de funtores vía álgebra homotópica

Dado un funtor F : C → R-Mod, de forma clásica, los límites superiores de F se calculan utilizando la definición de funtor derivado (a la derecha) del funtor límite, esto es, lim^i F = H^i (lim I*) donde F → I* es una resolución inyectiva en la categoría de funtores. En esta charla introduciremos una nueva estrategia para aproximar estos cálculos. Consideraremos todo funtor F : C → R -Mod como un funtor con valores en complejos de R−módulos, Ch(R), concentrado en grado 0. La categoría de funtores Fun(C, Ch(R)), con C una categoría EI filtrada y R un anillo, admite una estructura de categoría de modelos en la cual calcular los límites superiores de un funtor F : C → R -Mod se traduce en calcular lim^i F = Hi (lim RF) con RF un reemplazo fibrante de F. Utilizando la estructura de Reedy generalizada para C, daremos una descripción de cómo calcular un reemplazo fibrante para un funtor dado. Además, mostraremos como el problema se simplifica notablemente cuando C es un poset filtrado y, para dicho caso, daremos cotas para las cuales los límites superiores se anulan.

Jesús M. F. Castillo

(Universidad de Extremadura)

Métodos homológicos en la teoría de espacios de Banach, valga la contradicción

Con la excusa de la inminente publicación del libro Homological methods in Banach space theory (Félix Cabello Sánchez, Jesús M.F. Castillo, Cambridge Studies in Advanced Math. 2022, 540 pp.) en el que se expone cuanto a día de hoy se conoce sobre la implementación de técnicas categóricas y homológicas al estudio de los espacios de Banach, querríamos pasar algo de género de contrabando razonando sobre a dónde nos ha llevado eso y cuanto a día de hoy se desconoce sobre la implementación de técnicas categóricas y homológicas al estudio de los espacios de Banach.

Pascual Jara

(Universidad de Granada)

Decomposition of categories

Si R es un anillo y consideramos la categora R-Mod de los R-módulos a izquierda, es bien conocido que si existe un elemento idempotente central e 2 R, entonces cada R-módulo M descompone como M = eM ⊕ (1-e)M, y que la categor  a R  Mod es isomorfa a la categoría producto eR-Mod x (1-e)R-Mod. Cuando el anillo R = A es un anillo conmutativo, esta descomposición se traslada además al espectro Spec(A) del anillo A. De cara a estudiar esta descomposición en otras categorías (abelianas), surge el problema de determinar cuando la subcategoría σ[M] de R-Mod formada por todos los submódulos de sumas directas de copias de M (un caso particular de una categoría de Grothendieck) admite una tal descomposición. Probamos condiciones necesarias y suficientes para que la categoría σ[M] admita una descomposición en producto de dos subcategorías; en particular obtenemos que esto ocurre si, y solo si, el retículo de submódulos de M admite una descomposición como producto de dos retículos. Aplicamos estos resultados a caracterizar cuando una categoría de Grothendieck descompone en un producto de dos categorías de Grothendieck.

Jordi López-Abad

(Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid)

Estructuras de Fraïssé y sus grupos de automorfismos

Recordemos que una estructura algebraica M se denomina ultrahomogénea cuando todo embedamiento de una subestructura finito generada de M en M es la restricción de un automorfismo de M. A la familia de subestructuras finito generadas de M se la suele denominar edad de M, y se denota por Age(M). En términos de dinámica topológica, esta propiedad dice que la acción (continua) natural por composición del grupo de automorfismos Aut(M) de M en el espacio de embedamientos Emb(A;M) es transitiva, para toda A perteneciente a Age(M). Ejemplos de estructuras ultrahomogéneas son el orden lineal de los racionales, el grafo aleatorio, el álgebra de Boole numerable sin átomos, cualquier espacio vectorial numerable sobre un cuerpo finito, diversos espacios de Urysohn, y muchos otros. Una propiedad fundamental de estas estructuras M es que están fuertemente determinadas por su edad Age(M), como demuestra R. Fraïssé en su clásica correspondencia entre estructuras ultrahomogéneas y clases de estructuras finito generadas con una propiedad de amalgamación, una versión local de la ultrahomogeneidad.

Cuando Age(M) tienen una propiedad de “hiper-amalgamación”, llamada la propiedad de Ramsey, entonces el grupo topológico Aut(M), con su topología de convergencia puntual, es Extremadamente Amenable, es decir, toda acción continua en un espacio compacto arbitrario tiene un punto fijo. Similarmente a la correspondencia de Fraïssé, aquí se tiene una equivalencia entre la amenabilidad extrema de Aut(M) y la propiedad de Ramsey de Age(M), y que se conoce como la correspondencia de Kechris-Pestov-Todorcevic. Esta teoría se extiende a las estructuras métrico-algebraicas; el ejemplo típico aquí son los espacios normados. Esperamos que esta charla sea bastante auto-contenida.

Ana Cristina López Martín

(Universidad de Salamanca)

Indescomponibilidad categorial de esquemas Cohen-Macaulay

En esta charla daremos un criterio para que la categoría de complejos perfectos de un esquema Cohen-Macaulay sea indescomponible, esto es, sin más descomposiciones semiortogonales que aquellas que son triviales. Gracias a la conjetura de Kawamata, el criterio permite dar nuevos ejemplos de esquemas (débilmente) minimales en el sentido del programa minimal de Mori.

Eduardo Loureiro

(Universidad de Santiago de Compostela)

Subcategorías colocalizantes en esquemas

En esta charla mostraremos cómo las subcategorías colocalizantes Hom-ideales de la categoría derivada de haces cuasicoherentes sobre un esquema noetheriano y divisorial X están en biyección con los subconjuntos de X. Este resultado generaliza el trabajo previo de Neeman en el caso afín al mismo tiempo que dualiza el análogo para ideales localizantes obtenido por Alonso, Jeremías y Souto. En el contexto divisorial, una herramienta útil son los complejos de Koszul que nos permiten globalizar los argumentos de Neeman.

David Martínez Carpena

(Universidad de Barcelona)

Generalizando el complejo clasificador mediante el nervio homotópicamente coherente

Un espacio clasificador de un grupo topológico G se define como el cociente de un espacio débilmente contráctil por una acción propia y libre de G. Existen diversos espacios clasificadores functoriales, como el modelo de Milgram B que se basa en la construcción de barras, o el complejo clasificador W para grupos simpliciales. En particular, el modelo de Milgram puede ser fácilmente generalizado para monoides topológicos, pero lo mismo no ocurre con el complejo clasificador. En esta charla se explicará un modelo simplicial del espacio clasificador basado en el nervio homotópicamente coherente, que admite también una generalización a monoides topológicos equivalente a la obtenida con el modelo de Milgram. Finalmente, presentaremos una aplicación de este resultado modelando el ∞-grupoide fundamental asociado a un espacio como categoría topológica, mediante una construcción basada en las categorías de caminos de Moore.

David Méndez

(Champalimaud Center for the Unknown, Lisboa)

An introduction to Algebraic Machine Learning

Model Theory is the field of mathematics that studies the relationships between algebraic structures and the syntactic expressions that they make valid. As such, this field emphasizes the embedding of knowledge into models.

In this talk we will introduce a meta-mathematical approach to Machine Intelligence using Model Theory. In particular, we will show how we can introduce knowledge and data into semilattices and how we can later manipulate it, by adding to these structures special elements called atoms that both encode the structure of the semilattice and can be operated on to enforce syntactic expressions. We will see how, using such ideas, we are guaranteed to find a simple rule in our data, if it exists. By doing so, we are able to find generalising models.

We will also discuss some relevant properties of our approach, like its mathematical transparency, the fact that we are only using set-theoretical operations that do not rely on optimisation, the possibility of combining data with formal knowledge and the reduced dependency on statistics and hyperparameters.

José Manuel Moreno-Fernández

(Universidad de Málaga)

El conjunto simplicial de Maurer-Cartan bajo la acción de un grupo finito

El conjunto simplicial de Maurer-Cartan asociado a una L-infinito álgebra es un objeto central en homotopía racional, teoría de deformación, y algunos otros campos de la matemática. En esta charla, dotaremos a una L-infinito álgebra de una acción por un grupo finito G y estudiaremos la acción inducida en el conjunto simplicial asociado. Más precisamente: veremos qué puede decirse de los espacios de puntos fijos y fijos homotópicos asociados, así como alguna consecuencia en homotopía racional. Es un trabajo conjunto con Felix Wierstra, de la Universidad de Ámsterdam.

Manuel Saorín

(Universidad de Murcia)

Corazones que son categorías de Grothendieck

Dada una categoría triangulada con coproductos arbitrarios y una t-estructura en la misma, es conocido que el corazón de ésta es una categoría abeliana cocompleta. Un problema que ha despertado bastante interés en tiempos recientes es el de identificar las t-estructuras cuyo corazón es una categoría de Grothendieck. En esta charla haremos un repaso por los resultados más importantes al respecto y señalaremos algunas cuestiones pendientes de resolución.