Tổng các số nguyên tố là chuỗi hội tụ

Chứng minh tổng các số nguyên tố đến vô tận là chuỗi hội tụ:

Gọi tổng các số nguyên tố là S

=>Ta có:

2+3+5+7+11+13+...=S

Ta sẽ viết chuỗi trên dưới dạng nhóm là tổng 2 số nguyên tố lẻ.(Trừ 2)

3+5=8

7+11=18

...

Sau đó, ta sẽ có chuỗi sau:

2+8+18+30+42+...=S

2+8=10 rồi ta chuyển qua vế bên phải là -10.

Rồi ta nhóm lại như sau:

2.(9+15+...)=S-10

Ta thấy 9 mod 8 = 1 (dư 1)

15 mod 8 là 7 nên ta sẽ cộng thêm 1 để 16 mod 8=0, cộng 1 sẽ phải trừ 1.

Sau khi sử dụng mod 8, chúng ta sẽ có những số dư lặp lại nhiều lần là 0,1,2,3,4,5,6.

Rồi chúng ta nhóm với 1 nhóm là thương khi chia 8 và 1 nhóm số dư.

Sau đó, chúng ta sẽ có chuỗi sau:

=>16(1+2+3+...)+2.(2+3+1+5+6+4+0)(1+1+1+1+...)=S-10

-1 đã bị loại.

Thay 1+2+3+...=-1/12 ( Ramanujan ) hoặc 1+1+...=-1/2 hoặc chuỗi có kết quả khác nhau thì ta sẽ được kết quả sau:

26/3;-37/3;-10/15;11/15

Quá tuyệt vời.