Tổng các số nguyên tố là chuỗi hội tụ
Chứng minh tổng các số nguyên tố đến vô tận là chuỗi hội tụ:
Gọi tổng các số nguyên tố là S
=>Ta có:
2+3+5+7+11+13+...=S
Ta sẽ viết chuỗi trên dưới dạng nhóm là tổng 2 số nguyên tố lẻ.(Trừ 2)
3+5=8
7+11=18
...
Sau đó, ta sẽ có chuỗi sau:
2+8+18+30+42+...=S
2+8=10 rồi ta chuyển qua vế bên phải là -10.
Rồi ta nhóm lại như sau:
2.(9+15+...)=S-10
Ta thấy 9 mod 8 = 1 (dư 1)
15 mod 8 là 7 nên ta sẽ cộng thêm 1 để 16 mod 8=0, cộng 1 sẽ phải trừ 1.
Sau khi sử dụng mod 8, chúng ta sẽ có những số dư lặp lại nhiều lần là 0,1,2,3,4,5,6.
Rồi chúng ta nhóm với 1 nhóm là thương khi chia 8 và 1 nhóm số dư.
Sau đó, chúng ta sẽ có chuỗi sau:
=>16(1+2+3+...)+2.(2+3+1+5+6+4+0)(1+1+1+1+...)=S-10
-1 đã bị loại.
Thay 1+2+3+...=-1/12 ( Ramanujan ) hoặc 1+1+...=-1/2 hoặc chuỗi có kết quả khác nhau thì ta sẽ được kết quả sau:
26/3;-37/3;-10/15;11/15
Quá tuyệt vời.