Tổng các số nghịch đảo của các số tự nhiên

Chứng minh tổng nghịch đảo của số tự nhiên chia cho 1 trong 2 tổng nghịch đảo ( số lẻ hoặc chẵn ) bằng 2

Ta sẽ tách thành 2 nhóm:

Nhóm gồm tổng nghịch đảo số lẻ.

Nhóm gồm tổng nghịch đảo số chẵn.

Ta biết 1/2+1/4+1/8+1/16+...=1 (1)

Khi ta nhân (1) với một nghịch đảo của số lẻ ta sẽ được một chuỗi như sau:

1/6+1/12+1/24+1/48+...=1/3

1/10+1/20+1/40+...=1/5

1/14+1/28+1/56+...=1/7

... (2)

Ta thấy các phân số các chuỗi có mẫu khác nhau nên ta thấy chuỗi (1) cộng với chuỗi (2) ta sẽ được:

1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12+1/14+...=1+1/3+1/5+1/7+1/9+...

=>Tổng nghịch đảo số chẵn bằng tổng nghịch đảo số lẻ.

Vì tổng nghịch đảo số tự nhiên bằng tổng của nghịch đảo các số lẻ và tổng nghịch đảo số chẵn

Nên tổng nghịch đảo số tự nhiên chia cho 1 trong 2 tổng nghịch đảo ( số lẻ hoặc chẵn ) bằng 2

Đây là một chứng minh tuyệt vời.