บทที  4  ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 

  ตรรกศาสตร์  

“ตรรกศาสตร์” คือระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิดและการให้เหตุผล ใช้เป็นเครื่องมือในการเข้าถึงหลักปรัชญาต่างๆ และเป็นพื้นฐานในหลายๆสาขาวิชา และสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ น้องๆจะได้เรียนตรรกศาสตร์ในเป็นรูปแบบและกฎเกณฑ์ีการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Logic)  ไม่ว่าจะเป็น “และ” “หรือ” “ถ้า..แล้ว” “ก็ต่อเมื่อ” และนิเสธ นอกจากนี้ หลักตรรกศาสตร์จะใช้สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ และนำไปใช้ต่อยอดในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ สร้างเป็นพีชคณิตในทางดิจิตอล ฯลฯ 

ในวิชาคณิตศาสตร์ เราจะได้เริ่มทำความรู้จักกับ “ตรรกศาสตร์” ในชั้นม. 4 ตั้งแต่เทอมแรกกันเลย เนื้อหาที่เรียนจะเกี่ยวกับประพจน์ การเชื่อมประพจน์ รวมไปถึงการหาค่าความจริงของประพจน์ สมมูลและนิเสธของประพจน์ สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล สุดท้ายเราจะได้เรียนเรื่องตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิดว่ามีรูปแบบและลักษณะเป็นอย่างไรด้วย

ประพจน์  

ประพจน์” คือ ประโยคหรือข้อความบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น  

. ข้อความที่อยู่ในรูปของคำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำอ้อนวอน คำแสดงความปรารถนา
สุภาษิตคำพังเพย ประโยคเปิดเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ 

• ข้อความที่อยู่ในรูปของคำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำอ้อนวอน คำแสดงความปรารถนา
  สุภาษิตคำพังเพย ประโยคเปิดเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ 

• ประโยคที่มีความจริงไม่แน่นอน ไม่สามารถระบุว่าเป็นจริงหรือเท็จได้ ไม่เป็นประพจน์

• ข้อความบอกเล่าที่มีตัวแปรอยู่ด้วย ไม่สามารถบอกว่าจริงหรือเท็จจะไม่เป็นประพจน์
  เราเรียกมันว่า “ประโยคเปิด” 

ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์ 

ดาวเสาร์เป็นดาวเคราะห์   (จริง) 

เขื่อนลำตะคองไม่ได้อยู่ในจังหวัดกรุงเทพฯ (จริง)  

8 ไม่เท่ากับ  3 (จริง) 

15 – 8 > 20 (เท็จ) 

2 เป็นจำนวนตรรกยะ (เท็จ) ( รอใส่ root )

ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์  

100 บวก 20 มีค่าเท่าไหร่ (ประโยคคำถาม) 

จงเขียนประโยคบอกเล่า (ประโยคคำสั่ง) 

โปรดอย่าเดินลัดสนาม (ข้อความขอร้อง)  

ให้อภัยฉันด้วยเถิด (ข้อความอ้อนวอน) 

อยากกินเค้กอร่อยๆ (ข้อความแสดงความปรารถนา) 

ว้าว สวยจัง (คำอุทาน)  

ไก่ได้พลอย (สุภาษิตคำพังเพย)  

เธอเป็นนักกีฬา (ประโยคเปิด)  

เรานิยมใช้สัญลักษณ์ p, q, r, s หรือตัวอักษรภาษาอังกฤษอื่นๆ แทนประพจน์  

การแจกแจงความจริงของประพจน์ 

ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ T  

ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ใช้สัญลักษณ์ F  

ถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆมาให้ เราต้องแจกแจงค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากประพจน์ย่อยๆ นั้น เรา  

เรียกวิธีนี้ว่า “การแจกแจงความจริง” หรือ “การหาค่าความจริงของประพจน์” ซึ่งวิธีที่นิยมในมากที่สุดคือ การสร้างตารางค่าความจริง  

เราสามารถหาจำนวนวิธีแจกแจงได้โดยใช้สูตร  

 จำนวนวิธีแจกแจง = 2n  

โดยให้ n คือจำนวนของประพจน์

เช่น ถ้ามีประพจน์ 5 ประพจน์ จะเขียนแจกแจงความจริงได้ 25 = 32 แบบ 

การเชื่อมประพจน์

ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราจะเรียกประพจน์ใหม่นี้ว่า “ประพจน์เชิงประกอบ” ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว ได้แก่    

ตัวเชื่อม “และ” ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ∧ “  

ตัวเชื่อม “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ คือ  ” ∨ “  

ตัวเชื่อม “ถ้า… แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ คือ ” → “  

ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ↔ “  

ตัวเชื่อม “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย ” ~ “   

ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมแบบต่างๆ   

• ตัวเชื่อม “และ” (∧) เป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือ T∧T เป็น T

• ตัวเชื่อม “หรือ” (∨) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ F∨F เป็น F

• ตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…” (→) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ T → F เป็น F

• ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” (↔) ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็นจริง ไม่เหมือนกันจะเป็นเท็จ

• นิเสธของประพจน์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ จากจริงเป็นเท็จ จากเท็จเป็นจริง 

ข้อควรระวังในการหาค่าความจริงของประพจน์  

• ถ้ามีวงเล็บ ให้หาความจริงในวงเล็บก่อน

• ถ้าไม่มีวงเล็บ ให้หาความจริงของ “~” ก่อน แล้วจึง “∧”  “∨”  “→”  และ “↔” ตามลำดับ

ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ p → (q ∧ s)  

    วิธีทำ ประพจน์ p → (q ∧ s) มีประพจน์ย่อย คือ p, q และ s

ดังนั้นจำนวนวิธีที่แจกแจงได้ทั้งหมด คือ 23 = 8 แบบ และสร้างตารางได้ดังนี้  

เทคนิคการสร้างตารางแจกแจงความจริง  

1.หาจำนวนวิธีแจกแจงโดยใช้สูตร 2n

2.เริ่มจากเขียนประพจน์ตัวแรก เขียน T ลงมาครึ่งหนึ่ง และเขียน F อีกครั้งที่เหลือ

3.จำนวนค่าความจริงของประพจน์ตัวต่อไป ก็จะเป็นครึ่งหนึ่งของประพจน์ตัวก่อน 

ประพจน์ที่สมมูลกัน

ประพจน์สองรูปแบบจะสมมูลกันได้ ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี

และสามารถนำไปใช้แทนกันได้ โดยใช้สัญลักษณ์ “ ≡ ” แทนคำว่าสมมูล  

การตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ สามารถทำได้ 2 วิธี คือ
การใช้ตารางแจกแจงความจริง หรือ การใช้สมบัติสมมูลของประพจน์ 

สมบัติการสมมูล 

มีรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันหลายรูปแบบ ดังต่อไปนี้   

• สมบัติการสลับที่

p ∧ q ≡ q ∧ p 

p ∨ q ≡ q ∨ p 

p ↔ q ≡ q ↔ p  

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

p ∧ ( q ∧ r ) ≡  ( p ∧  q ) ∧ r  ≡ p ∧  q ∧ r    

p ∨ ( q ∨ r ) ≡  ( p ∨  q ) ∨ r  ≡ p ∨  q ∨ r   

p ↔ ( q ↔ r ) ≡  ( p ↔  q ) ↔ r  ≡ p ↔ q ↔ r    

• สมบัติการแจกแจง

p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )    

p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) 

p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r )  

p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r )   

( p ∨ q ) → r  ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r )   

     ( p ∧ q ) → r  ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r ) 

• สมบัติของ “ถ้า..แล้ว..” ( → )

p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q

• สมบัติของ “ก็ต่อเมื่อ” ( ↔ )

p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p ) 

• สมบัติของนิเสธ ( ~ )

~(~p) ≡ p 

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 

~(p → q) ≡ p ∧ ~q 

~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q 

• สมบัติอื่นๆ 

p ∧ p ≡ p 

p ∧ T ≡ p 

p ∧ F ≡ F 

p ∧ ~p ≡ F 

p ∨ p ≡ p 

p ∨ T ≡ T 

p ∨ F ≡ p 

p ∨ ~p ≡ T 

p → F ≡ ~p 

F → p ≡ T 

p → T ≡ T 

T → P ≡ P 

P ↔ P ≡ T 

P ↔ ∼P ≡ F   

 สัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์” คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี มีวิธีการตรวจสอบ 3 วิธี ได้แก่ 

1.สร้างตารางค่าความจริง เพื่อหาค่าความจริงทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ ถ้าความจริงขั้นสุดท้ายของประพจน์เป็นจริงทุกกรณี แสดงว่าประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์

2.ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง ซึ่งวิธีนี้นิยมใช้กับตัวเชื่อม “หรือ” กับ “ถ้า..แล้ว..” หากใช้กับ “และ” , “ก็ต่อเมื่อ” อาจจะต้องทำหลายครั้ง มีวิธีการคือ สมมติให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วจากนั้นก็ย้อนกลับไปดูประพจน์ย่อยๆ ว่าขัดแย้งกันหรือไม่ ถ้าขัดแย้งกัน แสดงว่าไม่มีโอกาสเป็นเท็จ ประพจน์นั้นจะเป็นสัจจนิรันดร์ 

3.การใช้หลักสมมูล เราจะใช้วิธีนี้กับตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”  โดยมีหลักการ Δ ↔ Ο ถ้า Δ ≡ Ο จะได้ว่า Δ ↔ Ο เป็นสัจจนิรันดร์

 การอ้างเหตุผล

“การอ้างเหตุผล” คือ การตรวจสอบว่าข้อความที่กำหนดให้ชุดหนึ่ง แล้วทำให้เกิดข้อความอีกชุดนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่ หรือ การหาผลสรุปจากเหตุที่กำหนดให้นั่นเอง  

การอ้างเหตุผล ประกอบด้วย 

• เหตุ คือ สิ่งที่ถูกกำหนดมาให้ ประกอบด้วยประพจน์ย่อยๆ P1, P2, P3…,Pn

• ผล คือ ผลสรุปจากเหตุ แทนด้วย Q

1. นำเหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และนำ → มาเชื่อมกับผล หลังจากนั้นให้ตรวจว่าเป็นสัจนิรันดร์

           (P1∧P2∧P3∧…∧Pn) → Q

หากเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)  

หาไม่เป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

2. ให้เหตุทุกข้อเป็นจริง (T) หาค่าความจริงและไปแทนในผล 

ถ้าผล เป็นจริง (T) แสดงว่า สมเหตุสมผล 

ถ้าผล เป็นเท็จ (F) แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล 

3. ใช้รูปแบบที่มีการพิสูจน์แล้วว่าสมเหตุสมผล 

ประโยคเปิด

“ประโยคเปิด” คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร เมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยคเปิดนั้นจะเป็นประพจน์ เช่น  

“เธอใส่เสื้อสีเขียว” เป็นประโยคเปิด เพราะมีคำว่า “เธอ” เป็นตัวแปร ไม่ระบุว่าใคร หากเปลี่ยนเป็น “มาลีใส่เสื้อสีเขียว” ประโยคนี้จะเป็นประพจน์เพราะระบุตัวแปรเรียบร้อยแล้ว  

“a เป็นจำนวนคู่” เป็นประโยคปเปิด เพราะมีตัวแปร “a” ถ้าแทนค่า a = 8 ประโยคจะเปลี่ยนเป็น “8 เป็นจำนวนคู่” ประโยคนี้จึงกลายเป็นประพจน์ 

ตัวแบ่งปริมาณ

“ตัวแบ่งปริมาณ” คือ ข้อความที่บอกจำนวนของตัวแปรในประโยคเปิดว่ามีมากน้อยแค่ไหน มี 2 ประเภท คือ  

• ∀x หมายถึง x ทุกตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์

เช่น สำหรับ x ทุกตัวซึ่ง x+5=4 เขียนแทนด้วย ∀x[x+5=4]

• ∃x หมายถึง x บางตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์

เช่น มี x อย่างน้อยหนึ่งตัว ซึ่ง 2x-3 < -1 เขียนแทนด้วย ∃x[2x-3 < -1]

เนื้อหา “ตรรกศาสตร์” ในชั้นม.4 เทอม 1 ที่น้องๆจะต้องเรียนก็มีประมาณนี้ อาจจะต้องใช้เวลาในการทำเข้าใจอยู่บ้าง แต่พี่เชื่อว่าไม่น่าจะยากเกินไปถ้าเราขยันและตั้งใจ หรือถ้าน้องคนไหนยังรู้สึกว่าอ่านยังไงก็ยังไม่เข้าใจ ยังอยากได้คอร์สเรียนเพื่อปูพื้นฐานให้แน่นขึ้น หรือจะเป็นคอร์สเรียนตรรกะศาสตร์แบบตะลุยโจทย์ไปพร้อมกัน ทาง At Home ก็คัดสรรคอร์สเรียนมากมายมาให้เลือก แอบกระซิบว่ามีคอร์สเรียนฟรีด้วยนะ ไปลุยกันได้เลย