Матхаки со степенями
1. Возведение в квадрат
1.1. Числа, оканчивающиеся на 5
Шаг 1. Умножьте первую цифру на первую цифру + 1.
Шаг 2. Допишите число 25 справа от результата первого шага.
Пример: 35^2
Шаг 1. 3×(3+1)=12
Шаг 2. 12_25=1225
Ответ: 35^2=1225
1.2. Числа, оканчивающиеся на 05
Шаг 1. "Отбросьте" две последние цифры исходного числа.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага. При затруднении можете воспользоваться таблицей степеней.
Шаг 3. Умножьте результат второго шага на 10.
Шаг 4. Прибавьте результат первого шага к результату третьего шага.
Шаг 5. Допишите 025 справа от результата четвёртого шага.
Пример: 1205^2
Шаг 1. 1205 => 12
Шаг 2. 12^2=144
Шаг 3. 144×10=1440
Шаг 4. 1440+12=1452
Шаг 5. 1425_025=1425025
Ответ: 1205^2=1425025
1.3. Числа, оканчивающиеся на 15
В процессе поиска способа. Скоро он появится.
1.4. Числа, оканчивающиеся на 25
Шаг 1. "Отбросьте" две последние цифры исходного числа.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага. При затруднении можете воспользоваться таблицей степеней.
Шаг 3. Разделите результат первого шага на 2.
Шаг 4. Сложите результаты второго и третьего шагов.
Шаг 5. Умножьте результат четвёртого шага на 10.
Шаг 6. Допишите 625 справа от результата пятого шага.
Пример: 325^2
Шаг 1. 325 => 3
Шаг 2. 3^2=9
Шаг 3. 3÷2=1,5
Шаг 4. 9+1,5=10,5
Шаг 5. 10,5×10=105
Шаг 6. 105_625=105625
Ответ: 325^2=105625
1.5. Числа, оканчивающиеся на 75
В процессе поиска способа. Скоро он появится.
1.6. Числа, оканчивающиеся на 95
Шаг 1. "Отбросьте" две последние цифры исходного числа.
Шаг 2. Прибавьте 1 к результату первого шага.
Шаг 3. Возведите в квадрат результат второго шага. При затруднении можете воспользоваться таблицей степеней.
Шаг 4. Умножьте результат третьего шага на 10.
Шаг 5. Вычтите результат первого шага из результата четвёртого шага.
Шаг 6. Допишите 025 справа от результата пятого шага.
Пример: 1295^2
Шаг 1. 1295 =>12
Шаг 2. 12+1=13
Шаг 3. 13^2=169
Шаг 4. 169×10=1690
Шаг 5. 1690-13=1677
Шаг 6. 1677_025=1677025
Ответ: 1295^2=1677025
1.7. Числа, оканчивающиеся на 125
В процессе поиска способа. Скоро он появится.
1.8. Числа от 10 до 19
Шаг 1. Сложите исходное число с последней цифрой исходного числа.
Шаг 2. Умножьте результат первого шага на 10.
Шаг 3. Возведите в квадрат последнюю цифру исходного числа.
Шаг 4. Сложите результаты второго и третьего шагов.
Пример: 14^2
Шаг 1. 14+4=18
Шаг 2. 18×10=180
Шаг 3. 4^2=16
Шаг 4. 180+16=196
Ответ: 14^2=196
1.9. Числа от 20 до 29
Шаг 1. Умножьте цифру разряда десятков на 10.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага.
Шаг 3. Умножьте цифру разряда единиц на 40.
Шаг 4. Возведите в квадрат цифру разряда единиц.
Шаг 5. Сложите результаты второго, третьего и четвёртого шагов.
Пример: 23^2
Шаг 1. 2×10=20
Шаг 2. 20^2=400
Шаг 3. 3×40=120
Шаг 4. 3^2=9
Шаг 5. 400+120+9=529
Ответ: 23^2=529
1.10. Числа от 30 до 39
Шаг 1. Умножьте цифру разряда десятков на 10.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага.
Шаг 3. Умножьте цифру разряда единиц на 60.
Шаг 4. Возведите в квадрат цифру разряда единиц.
Шаг 5. Сложите результаты второго, третьего и четвёртого шагов.
Пример: 34^2
Шаг 1. 3×10=30
Шаг 2. 30^2=900
Шаг 3. 4×60=240
Шаг 4. 4^2=16
Шаг 5. 900+240+16=1156
Ответ: 34^2=1156
1.11. Числа от 40 до 49
Шаг 1. Вычтите исходное число из 50.
Шаг 2. Вычтите результат первого шага из 25.
Шаг 3. Возведите в квадрат результат первого шага (если получите однозначное число, поставьте 0 перед ним).
Шаг 4. Поставьте результат третьего шага справа от результата второго шага.
Пример: 48^2
Шаг 1. 50-48=2
Шаг 2. 25-2=23
Шаг 3. 2^2=04
Шаг 4. 23_04=2304
Ответ: 48^2=2304
1.12. Числа от 50 до 59
Шаг 1. Прибавьте 25 к цифре разряда единиц исходного числа.
Шаг 2. Возведите в квадрат цифру разряда единиц исходного числа (если получите однозначное число, поставьте 0 перед ним).
Шаг 3. Поставьте результат второго шага справа от результата первого шага.
Пример: 53^2
Шаг 1. 25+3=28
Шаг 2. 3^2=09
Шаг 3. 28_09=2809
Ответ: 53^2=2809
1.13. Числа от 60 до 69
Шаг 1. Умножьте цифру разряда десятков на 10.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага.
Шаг 3. Умножьте цифру разряда единиц на 120.
Шаг 4. Возведите в квадрат цифру разряда единиц.
Шаг 5. Сложите результаты второго, третьего и четвёртого шагов.
Пример: 64^2
Шаг 1. 6×10=60
Шаг 2. 60^2=3600
Шаг 3. 4×120=480
Шаг 4. 4^2=16
Шаг 5. 3600+480+16=4096
Ответ: 64^2=4096
1.14. Числа от 70 до 79
Шаг 1. Умножьте цифру разряда десятков на 10.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага.
Шаг 3. Умножьте цифру разряда единиц на 140.
Шаг 4. Возведите в квадрат цифру разряда единиц.
Шаг 5. Сложите результаты второго, третьего и четвёртого шагов.
Пример: 74^2
Шаг 1. 7×10=70
Шаг 2. 70^2=4900
Шаг 3. 4×140=560
Шаг 4. 4^2=16
Шаг 5. 4900+560+16=5476
Ответ: 74^2=5476
1.15. Числа от 80 до 89
Шаг 1. Умножьте цифру разряда десятков на 10.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага.
Шаг 3. Умножьте цифру разряда единиц на 160.
Шаг 4. Возведите в квадрат цифру разряда единиц.
Шаг 5. Сложите результаты второго, третьего и четвёртого шагов.
Пример: 84^2
Шаг 1. 8×10=80
Шаг 2. 80^2=6400
Шаг 3. 4×160=640
Шаг 4. 4^2=16
Шаг 5. 6400+640+16=7056
Ответ: 84^2=7056
1.16. Числа от 90 до 99
Шаг 1. Вычтите исходное число из 100.
Шаг 2. Вычтите результат первого шага из исходного числа.
Шаг 3. Возведите в квадрат результат первого шага (если получите однозначное число, поставьте 0 перед ним).
Шаг 4. Поставьте результат третьего шага справа от результата второго шага.
Пример: 97^2
Шаг 1. 100-97=3
Шаг 2. 97-3=94
Шаг 3. 3^2=09
Шаг 4. 94_09=9409
Ответ: 97^2=9409
1.17. Числа от 100 до 109
Шаг 1. Прибавьте цифру разряда единиц исходного числа к исходному числу.
Шаг 2. Возведите в квадрат цифру разряда единиц исходного числа (если получите однозначное число, поставьте 0 перед ним).
Шаг 3. Поставьте результат второго шага справа от результата первого шага.
Пример: 103^2
Шаг 1. 103+3=106
Шаг 2. 3^2=09
Шаг 3. 106_09=10609
Ответ: 103^2=10609
1.18. Числа от 10 до 99
Шаг 1. Разложите исходное число на разрядные слагаемые.
Шаг 2. Используя формулу x^2+2xy+y^2, подставьте в неё результаты первого шага и вычислите.
Пример: 17^2
Шаг 1. 17=10+7
Шаг 2. 10^2+2×10×7+7^2=100+140+49=289
Ответ: 17^2=289
1.19. Числа от 100 до 999
Шаг 1. Разложите исходное число на разрядные слагаемые.
Шаг 2. Используя формулу x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz, подставьте в неё результаты первого шага и вычислите.
Пример: 346^2
Шаг 1. 346=300+40+6
Шаг 2. 300^2+40^2+6^2+2×300×40+2×300×6+2×40×6=90000+1600+36+24000+3600+480=119716
Ответ: 346^2=119716
1.20. Числа от 1000 до 9999
Шаг 1. Разложите исходное число на разрядные слагаемые.
Шаг 2. Используя формулу x^2+y^2+z^2+a^2+2xy+2xz+2xa+2yz+2ya+2za, подставьте в неё результаты первого шага и вычислите.
Пример: 1234^2
Шаг 1. 1234=1000+200+30+4
Шаг 2. 1000^2+200^2+30^2+4^2+2×1000×200+2×1000×30+2×1000×4+2×200×30+2×200×4+2×30×4=1000000+40000+900+16+400000+60000+8000+12000+1600+240=1522756
Ответ: 1234^2=1522756
2. Возведение в куб
2.1. Числа от 10 до 99
Шаг 1. Разложите исходное число на разрядные слагаемые.
Шаг 2. Используя формулу x^3+3xy(x+y)+y^3, подставьте в неё результаты первого шага и вычислите.
Пример: 25^3
Шаг 1. 25=20+5
Шаг 2. 20^3+3×20×5×(20+5)+5^3=8000+7500+125=15625
Ответ: 25^3=15625
2.2. Числа от 100 до 999
Шаг 1. Разложите исходное число на разрядные слагаемые.
Шаг 2. Используя формулу x^3+y^3+z^3+3(x^2)y+3(x^2)z+3(y^2)x+3(y^2)z+3(z^2)x+3(z^2)y+6xyz, подставьте в неё результаты первого шага и вычислите.
Пример: 124^3
Шаг 1. 124=100+20+4
Шаг 2. 100^3+20^3+4^3+3×100^2×20+3×100^2×4+3×20^2×100+3×20^2×4+3×4^2×100+3×4^2×20+6×100×20×4=1000000+8000+64+600000+120000+4800+4800+960+48000=1906624
Ответ: 124^3=1906624
3. Возведение в степень 4
Шаг 1. Возведите в квадрат исходное число.
Шаг 2. Возведите в квадрат результат первого шага.
При затруднении можете воспользоваться таблицей степеней.
Пример: 3^4
Шаг 1. 3^2=9
Шаг 2. 9^2=81
Ответ: 3^4=81
4. Возведение в степень 6
Шаг 1. Возведите в квадрат исходное число.
Шаг 2. Возведите в куб результат первого шага.
При затруднении можете воспользоваться таблицей степеней.
Пример: 3^6
Шаг 1. 3^2=9
Шаг 2. 9^3=729
Ответ: 3^6=729
5. Возведение в степень 9
Шаг 1. Возведите в куб исходное число.
Шаг 2. Возведите в куб результат первого шага.
При затруднении можете воспользоваться таблицей степеней.
Пример: 2^9
Шаг 1. 2^3=8
Шаг 2. 8^3=512
Ответ: 2^9=512
6. 2 в степени 2-20
Здесь нужно просто заучить: это не так сложно, как может показаться. Или каждое последующее число умножать на 2, если вам легче будет так запомнить.
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
2^7=128
2^8=256
2^9=512
2^10=1024
2^11=2048
2^12=4096
2^13=8192
2^14=16384
2^15=32768
2^16=65536
2^17=131072
2^18=262144
2^19=524288
2^20=1048576
Я думаю, столько должно хватить.