Определение. Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида P(x1, x2, ..., xn) = 0, где P(x1, ..., xn) - многочлен с целыми коэффициентами.

Стоит отметить, что уравнения, содержащие более одного неизвестного, носят название неопределенного.

Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает его в верное равенство.

Наиболее часто используемые теоремы, которые необходимы в процессе изучения данной темы, приведены ниже.

Теорема 1. Если НОД(а,b)=d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу =1 и НОД(а,b)=1, то достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с, в котором НОД(а,b)=d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с, в котором НОД(а,b)=d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению, в котором НОД =1.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с, в котором НОД(а,b)=1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = + bt, у = -at, где t – любое целое число.