Рассмотрим наиболее часто используемые методы:

● Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение.

Задание 1. Найдите множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

49х+51у=602

Решение:

1. Необходимо выразить переменную х через y.

3. Полный перебор вариантов помогает узнать, что единственной парой натуральных чисел, удовлетворяющих условию, будет (5;7).

● Метод разложения на множители.

Рассмотрим задание, которое встретилось на Петербургской математической олимпиаде.

Задание 2. Решить уравнение в целых числах 10x²+11xy+3y²=7

Решение:

1. Представим левую часть уравнения в виде (5х+3у)·(2х+у)=7

2. Число 7 можно записать в виде произведения целых чисел четырьмя способами:

• 7=7·1

• 7=1·7

• 7=(-1)·(-7)

• 7=(-7)·(-1)

Тогда можно составить совокупность, содержащую четыре следующие системы:

3. Решив каждую из приведенных систем, получим пары целых корней: (-4;9), (14;-21), (4;-9), (-14;21).

● Метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби.

На первый взгляд уравнение вида 3х+2у=7 просто в решении, так как в нем использованы маленькие коэффициенты и незамысловатый вид. Более детально перейдем к рассмотрению этого уравнения:

1. Запишем уравнение в следующем виде: 2х+2у=7-х

2. Вынесем в левой части число 2 за скобки, получим уравнение вида:

2·(х+у)=7-х

3. Заметим, что 7-х=2k, где k∈ Z , отсюда выразим х=7-2k

4. Подставим в исходное уравнение вместо х указанную в п.3 правую часть уравнения:

3·(7-2k)+2у=7

5. При выполнении преобразования п.4 получим у=3k-7, где k∈ Z

6. Можно сделать вывод, что все пары вида (7-2k; 3k-7), где k∈ Z, являются решениями исходного уравнения.

● Метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение.

Диофантовые уравнения, основанные на решении по этому методу, зачастую используются в разноуровневых олимпиадах. Убедимся в этом на примере задания, включенного в Минскую олимпиаду XLIX для школьников 9 класса.

Задание 3. Найдите все пары (a,b) натуральных чисел a и b, удовлетворяющих следующему равенству: 45^a-b^b=1998

Решение:

Из представленного уравнения можно заметить, что числа 1998 и 45 кратны 3, следовательно число b тоже должно быть кратно 3 или иными словами b=3k, где k — некоторое натуральное число.

Запишем уравнение следующим образом: 45^a-(3k)^3k=1998 или 45^a=74·3³+3^3k·k^3k .

Оба слагаемых в правой части делятся на 27, следовательно, и слагаемое стоящее в левой части тоже должно делиться на 27. Тогда необходимо, чтобы выполнялось условие, при котором a⩾ 2.

Путем рассуждений придем к выводу, что если k⩾2, то выражение 3^3k·k^3k

будет кратно 81, то следовательно и 1998 должно нацело делиться на 81, а это невозможно. Значит k=1, и b=3. Найдем значение a, подставив в начальное уравнение полученные данные:

45^a-3³=1998

45^a=1998+27

45^a=2025

45^a=45²

a=2

Таким образом, искомые значения a и b соответственно равны 2 и 3.