Уровень сложности - средний
Уровень сложности - средний
Задание. Решите в натуральных числах уравнение:
а) x² – y² = 31;
б) x² – y² = 303.
Решение. x² – y² = (x – y)(x + y).
а) Так как произведение равно простому числу 31, то больший натуральный множитель равен 31, а меньший равен 1. Итак, x – y = 1, x + y = 31, откуда x = 16, y = 15.
б) 303 = 1·303 = 3·101. Имеем два случая.
1) x – y = 1, x + y = 303, откуда x = 152, y = 151.
2) x – y = 3, x + y = 101, откуда x = 52, y = 49.
Ответ: а) (16, 15); б) (152, 151), (52, 49).
Задание. Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что осталось 124 клетки. Сколько клеток мог содержать первоначальный лист бумаги?
Решение. Задача сводится к решению в натуральных числах уравнения x² – y² = 124, которое можно переписать в виде (x – y)(x + y) = 124. Хотя бы один из множителей левой части чётен, поэтому x и y имеют одинаковую четность, значит, оба числа x – y и x + y чётны. Единственный способ разложить число 124 на два чётных сомножителя – 2·62. Значит сумма чисел x и y равна 62, а разность – 2, откуда x = 32, y = 30.
Ответ: 32² = 1024 клетки.
Задание. Решите в целых числах уравнение 19x+97y+xy=4.
Решение. Преобразуем уравнение → xy+19x+97y+19·97=1843+4 или xy+19x+97y+19·97=1847. Поскольку 1847 простое число, один из множителей равен +1 или -1, а другой +1847 или -1847. Составив и решив систему, получаем четыре ответа: (−96, 1828), (1750, −18), (−98, −1866), (−1944, −20).
Ответ: (−96, 1828), (1750, −18), (−98, −1866), (−1944, −20).