Уровень сложности - высокий
Embedded Files
Задание. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
Решение.
а)71+61=4·(17+16), поэтому если взять по 11 раз числа 16 и 17, то получится подходящий пример: 11·(16+ 17) = 363; 11 · (71 + 61) = 1452 = 4 · 363.
б) Обозначим сумму всех цифр десятков за a, а всех цифр единиц за b. Тогда 10a+b=363, 10b+a=363·2, откуда вычтя из второй строки первую получим 9·(b-a)=363 что невозможно — 363 не кратно 9.
Ответ: а)16 и 17; б) нет.
Задание. Найти решение в целых числах уравнения
Решение. Перепишем уравнение в виде
Отсюда
Следовательно, число
– целое: x = 10k², где k – целое. И
или x ≤ 250, |k| ≤ 5. Подставляя возможные значения k, получим все решения уравнения в целых числах.
Ответ: (0, 250), (10, 160), (40, 90), (90, 40), (160, 10), (250, 0).
Задание. Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?
Решение. Нам нужно найти число троек (a, b, c) натуральных чисел, где a ≤ b ≤ c, a + b + c = 100, a + b > c. Ясно, что c может принимать значения от 34 до 49. При каждом из этих значений a + b = 100-c, значит, b может принимать значения от ½ (100 – c) до c, точнее, от 50 - c/2 до c при чётном c (всего 3c/2 – 49 вариантов) и от 50 – (c–1)/2 до c – при нечётном ((3c–1)/2 – 49 вариантов).
Итак, при с = 34, 36, ..., 48 получаем 2, 5, ..., 23 треугольника, а при с = 35, 37, ..., 49 – 3, 6, ..., 24 треугольника. Всего 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14 + 15 + 17 + 18 + 20 + 21 + 23 + 24 = 208 треугольников.
Ответ: 208.
Page updated
Google Sites
Report abuse