Уровень сложности - средний
Уровень сложности - средний
Задание. Докажите, что составное число n всегда имеет делитель, но больший n1/2.
Решение. Решать данную задачу будем методом от противного, предположим, что все делители числа n будут больше n1/2. Обозначим за делители: a и n:a. Следовательно, a и n:a больше n1/2. Следовательно, n=n1/2·n1/2 меньше чем a·(n:a)=n, поэтому n меньше чем n. Но! это противоречит данным предположениям, поэтому исходное утверждение было неверным и найдётся делитель n, который не будет больше чем n1/2.
Задание. Квадратный трёхчлен x2+ax+b имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что число а+b+1 — составное.
Решение. Обозначим x1 и x2 — корни трехчлена. Тогда по теореме Виета a+b+1 = -(x1+x2) + x1·x2+1= (x1-1)·(x2-1). Из условия следует, что каждая скобка не может быть равна 1,-1 или 0. Таким образом, можно сделать вывод, что a+b+1— составное.
Задание. Квадратный трёхчлен f(x)= x2+px+q имеет два различных целых корня. Один из корней трехчлена и его значение в точке x=11 являются простыми числами. Найдите корни трехчлена.
Решение. Известно, что f(11) = (11 - x1)(11 - x2) − простое число. Если простой (по условию) корень x1 = 2, то f(11) = 9 · (11 - x2) − не простое число. Если х1 − нечётное простое число, то простое число f(11) − чётное, то есть равно 2.
Это возможно только если х1 = 13, х2 = 12.
Ответ: 12, 13