Решение.

а) Разумно в поиске примера использовать простые числа. Пример быстро находится: 1, 2, 5, 7, 11.

б) Среди данных пяти чисел может быть не более одного четного числа. Если чётное число одно, тогда остальные четыре числа — нечетные. И сумма всех чисел — четная. Противоречие. Если чётных чисел нет, то сумма всех чисел не меньше, чем 1+3+5+7+9= 25. Но 23˂25 Противоречие.

в) Если четное число одно, то сумма чисел не меньше, чем 2+1+3+5+7=18. Если четных чисел нет, то, как ранее показано, сумма не меньше 25. Пример для суммы 18 приведен.

Ответ: а)да; б)нет; в)18 или 25.

Решение. Пусть десятичная запись числа b состоит из n цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство b:a=a+b:10ⁿ, поэтому 10ⁿ(b-a²)=ab.

Из этого уравнения следует, что b ˃a² ≥ a. Так как числа a и b взаимно простые, числа b-a² и a·b тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p-общий простой делитель этих чисел. Тогда если p делитель a, то p будет делителем b. Если же p-делитель b, то p будет делителем a², значит p-делитель a. Противоречие!)

Поэтому b-a²=1 и, следовательно, a·b=10ⁿ. Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в 2-х случаях:

1. b=10ⁿ, a=1, но в этом случае не выполняется равенство b-a²=1.

2. b=5ⁿ, a=2ⁿ. В этом случае равенство b-a²=1 принимает вид 5ⁿ-4ⁿ=1, откуда (5:4)ⁿ=1+(1:4)ⁿ. Функция f(n)=(5:4)ⁿ возрастает, а функция g(n)=(1:4)ⁿ убывает. Поэтому уравнение f(n)=g(n) имеет не более одного корня, и так как f(1)=g(1), единственным корнем уравнения является n=1.

Ответ: a=2, b=5.

Решение. Пусть первый простой множитель р₁ равен 2. Очевидно, что любое число делится на р₁-1=1. Второй множитель р₂ должен делить четное, так как р₁·р₂=2·р₂. Этому условию удовлетворяет простое число 3, имеем р₁·р₂=6 и 6 делится на р₂-1=2. Попробуем подобрать еще один простой множитель р₃. Учитывая, что р₃ и р₃-1 взаимно простые числа, то на р₃-1 должно делиться число р₁·р₂=6. Очевидно, это число 7, и получаем:

р₁·р₂· р₃=42

42꞉( р₁-1)=42

42꞉( р₂-1)=21

42꞉( р₃-1)=7

Простым подбором можно найти еще один простой множитель р₄=43. Пятый же множитель найти не удается. Таким образом, составим три произведения:

1. 2·3=6;

2. 2·3·7=42;

3. 2·3·7·43=1806.

Ответ: 6, 42, 1806.