Решение. Достаточно заметить, что в последовательности 1975237796915163559217996... после каждой чётной цифры идут подряд четыре нечётные цифры. Поэтому четвёрка 1 2 3 4 в этой последовательности встретиться не может. Четвёрка 3 2 6 9 тоже встретиться не может.

Ответ: нет.

Решение.

а) Пусть a₁ = 3 и a₂ = 1. Тогда a₃ = 3 + 1 = 4, a₄ = 1 + 4 = 5, a₅ = 4 + 5 = 9 и 5a₅ = 9a₄.

б) Предположим, что 5a₅ =7a₄. Тогда а₅=7а и а₄=5а, где a=а₅:7 ˃0. Имеем a₃ = a₅ − a₄ = 2a, a₂ = a₄ − a₃=3a и a₁ = a₃ − a₂ = − a < 0. Получаем противоречие.

Ответ: а)да; б)нет.

Решение. Обозначим первые два члена последовательности a и b соответственно. Тогда a₃=a+b, а₄=a+2b, a₅=2a+3b.

а)Условие равносильно тому, что 5(2a+3b)=9(a+2b), то есть a=3b. Значит, для последовательности, например: 3, 1, 4, 5, 9 оно будет выполнено.

б)Условие равносильно тому, что 5(2a+3b)=7(a+2b), то есть 3a+b=0, что невозможно.

в)Пусть a_n-1=y, a_n-2=x. Тогда a_n= x+y, a_n+1= x+2y. Уравнение примет вид 6n·(x+2y)=(2n²-2)·(x+y) или 3n·(x+2y)=(n²-1)·(x+y) или (n²-1-3n)·x+(n²-1-6n)·y=0. Поскольку при n≥7 справедливы оценки, то n²-1-3n ˃ n²-1-6n ˃n²-7n=n(n-7) ≥0 при n≥7 это равенство выполняться не может.

Тогда при n=6 получаем 17x-y=0, то есть a₅=17x, a₄= x. Значит, a₃=a₅-a₄=16x и a₂=a₄-a₃˂0.

При n=5 получаем 9x-6y=0, то есть a₄= 3/2x, a₃=x. Значит, a₂=a₄-a₃ = 1/2x и a₁=a₃-a₂ = 1/2x. Выбрав, например, x=2 получим последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., удовлетворяющую условию при n=5.

Ответ: а) да, б) нет, в) 5.