Уровень сложности - высокий
Уровень сложности - высокий
Задание. Шесть простых чисел являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Докажите, что разность этой прогрессии не менее 30.
Решение. Предположим, что разность прогрессии нечётна. Тогда в этой прогрессии будет как минимум три чётных числа, что невозможно. Аналогично если разность прогрессии не кратна 3, то в эту прогрессию входят как минимум два числа, кратные трём. Значит, разность прогрессии кратна 2 и 3, т. е. кратна 6. Если разность прогрессии не кратна 5, то в ней есть член, кратный 5. Тогда это просто число 5. Если 5 — первый член прогрессии, то среди оставшихся 5 членов есть ещё один член, кратный 5, что невозможно. Если же 5 не является первым членом, то первый член будет отрицательным, ибо можно доказать, что разность прогрессии не меньше 6. Итак, разность прогрессии кратна 5 и 6, т. е. кратна 30, а значит, не менее 30.
Интересно, что прогрессия 7, 37, 67, 97, 127, 157 состоит из простых чисел.
Задание. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение. Для начала разложим число 792 на простые множители, получим: 792=2·2·2·3·3·11. Из этого разложения видно, что можно взять следующие множители: 2, 4, 3, 3, 11: 792=2·4·3·3·11. Также число 792 можно разложить и так (нужно для геометрической прогрессии):
792=1·2·4·9·11, то есть имеем последовательность чисел 1, 2, 4, 9 и 11.
Геометрическая прогрессия – это прогрессия вида bn=bn-1·q=b1·qn-1. Проанализируем, могут ли множители 1, 2, 4, 9, 11 образовывать геометрическую прогрессию. Очевидно, что параметр q должен быть целым числом и больше 1. Если взять q=2, то числа 1, 2, 4 образуют члены геометрической прогрессии. Других вариантов (с большим числом членов) нет.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Задание. Дана бесконечная последовательность натуральных чисел, в которой k‐й член задается формулой ak = 2k − 1, где k ∈ N, k ≥ 1. Далее рассматриваются суммы нескольких (не менее двух) слагаемых из некоторого набора идущих подряд членов этой последовательности. Может ли такая сумма быть равной:
а) 2021?
б) 289?
в) квадрату натурального числа?
г) кубу натурального числа?
Решение. Заметим, что заданная последовательность — арифметическая прогрессия 1, 3, 5, ..., состоящая из нечетных чисел. Из формулы для суммы членов арифметической прогрессии следует, что сумма k её первых членов равна k2: S2k-1=1+3+5+…+(2k-1)=k2. Это позволяет утвердительно ответить на вопрос пункта в) и пункта б), поскольку 289 это квадрат 17.
Далее, 2021=2025-4 = 452-1-3= 5+7+9+…+89, поэтому в пункте а) тоже ответ да.
Наконец, прибавляя к каждому из k чисел 1, 3, ..., 2k-1 четное число k2-k мы увеличиваем сумму на k·(k2-k) и она становится k2+k·(k2-k)=k3 — точному кубу.
Таким образом, ответ на все вопросы — да. Дополнительно отметим, что в силу приведённых построений сумма таких слагаемых может быть равна квадрату или кубу любого натурального числа, кроме 1.
Ответ: а) да; б) да; в) да; г)да.