Занятие 2. Свойства делимости

В символьном обозначении обычно записывают факт делимости числа a на b, как a⋮b , или b|a.

Свойства делимости:

1⁰. Любое целое число a делится на само себя, на -a и на 1.

2⁰. Нуль делится на любое целое число b.

3⁰. Если a⋮b и |a|˂|b|, то a=0 .

4⁰. Если a≠0 и a⋮b, то |a| ≥|b|.

5⁰. Делителями единицы являются только целые числа 1 и −1.

6⁰. Чтобы целое число a⋮b необходимо и достаточно, чтобы |a|⋮|b|.

7⁰. Если a⋮m и m⋮b, то a⋮b.

8⁰. Если a⋮b и b⋮a, то a=b или a=-b .

9⁰. Для любого целого и отличного от нуля числа b найдется такое целое число a, где a≠b, и при этом a⋮b.

10⁰. Если каждое из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c, то сумма (a+b)⋮c.

11⁰. Если известно, что в равенстве вида k+1+...+n=p+q+...+s все члены кроме какого-то одного делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.

12⁰. Если целое число a делится на целое число b, то произведение (a·k)⋮b, где k – произвольное целое число.

13⁰. Если целые числа a и b делятся на c, то (a·u+b·v)⋮c, где u и v – произвольные целые числа.