Одним из ключевых понятий арифметики является понятие делимости. Сформулируем его.

Определение. Если целое число a⋮b, где b≠0, и существует p, при котором выполняется a=b·p, то число b называют делителем числа a, а число p – частным от деления a на b.

Признаки делимости:

1. Число а делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра a оканчивается на 0; 2; 4; 6; 8. Пример: 12 – число, оканчивающееся на 2 → 12:2.

2. Число a делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. Пример: 123 делится на 2, т.к. 1+2+3=6 делится на 3.

3. Число а делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра a оканчивается на 0; 5. Пример: 15; 120 – числа, оканчивающиеся на 5 и 0 → 15:5, 120:5.

4. Число а делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Пример: 245 делится на 7, т.к. 24-5·2=14 делится на 7.

5. Число а делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Пример: 342 делится на 9, т.к. 3+4+2=9 делится на 9.

6. Число а делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра a оканчивается на 0. Пример: 210 – число, оканчивающееся на 0 → 210:10.

7. Число а делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11. Пример: 305792608 делится на 11, т.к. (8+6+9+5+3)-(0+2+7+0)=22 делится на 11.