Уровень сложности - средний
Уровень сложности - средний
Задание. Докажите, что для ∀ n∈ N число 10n-1 делится на 9?
Решение. Представленное число записывается как 9 … (n девяток). Поэтому оно кратно 9.
Задание. На доске написано: 72∗3∗. Замените звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 45.
Решение. Пусть на доске написано такое число: 72x3y, где x и y — некие цифры. Тогда если это число делится на 45, то оно делится на 5 и на 9.
Делимость на 9. По признаку делимости на 9 сумма цифр числа должна делиться на 9:
(7+2+ x +3+ y) ⋮9, (12+ x + y) ⋮9.
Делимость на 5. Последняя цифра нашего числа должна быть либо 0, либо 5, т. е. либо y =5, либо y =0.
Пусть y =0. Тогда (12+ x +0) ⋮9, т. е. (12+ x) ⋮9, значит, x =6.
Пусть y =5. Тогда (12+ x +5) ⋮9, т. е. (17+ x) ⋮9, значит, x =1.
Ответ. 72 135, 72 630.
Задание. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел. Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?
Решение. Простые числа 5, 7 и 11 не могут входит в хорошие подмножества (т.к. одно произведение будет делится на перечисленные числа, а другое нет)). Поэтому хорошие четырёхэлементные множества можно составлять только из чисел 1; 3; 4; 6; 9; 12. Осуществим перебор. Непосредственной проверкой убеждаемся, что к числу 1 в пару можно взять только число 12; находим множество {1; 12; 3; 4}. Из оставшихся чисел 3; 4; 6; 9; 12 к числу 3 в пару также можно взять только число 12; находим множество {3; 12; 4; 9}. Остаются числа 4; 6; 9; 12 они не образуют хорошее множество. Других вариантов нет.
Ответ: 2.