Решение. Можно заметить, что раз число делится на 4, то число из двух последних его цифр тоже делится на 4 (по признаку делимости на 4). Посмотрим, каким может быть это число:

22 не делится на 4;

23 не делится на 4;

32 делится на 4;

33 не делится на 4;

Значит, данный код заканчивается на 32. Теперь можно заметить, что вся сумма цифр должна делиться на 3, так как число делится на 3. Будем перебирать все возможные варианты кода:

7 двоек. Не может быть, так как последние цифры, ранее были выявлены 32.

6 двоек. Сумма цифр 12+3=15 делится на 3, значится, код делится на 3. Положение цифры 3 известно, она предпоследняя. Данный код имеет вид 2222232.

5 двоек. Суммы цифр 10+6=16 не делится на 3, значит, код не делится на 3.

4 двойки. Сумма цифр 8+9=17 не делится на 3, значит, код не делится на 3.

Меньше 4 двоек не может быть, так как двоек больше, чем троек.

Ответ:2222232.

Решение. Если число (2a+1)∶ (a-2) целое, то это равносильно тому, что (2a+1)⋮(a-2). Тогда и разность этих чисел тоже будет делиться на a-2∶(2a+1)-(a-2)⋮(a-2)➜ (a+3)⋮(a-2). Но разность и этих чисел тоже должна делиться на a-2∶(a+3)-(a-2)⋮(a-2)➜ 5⋮(a-2). Значит, (a-2) – делитель числа 5. Но у 5 не так много делителей – это 1, 5, -1, -5.

Переберем все случаи:

• a-2=1. Тогда a=3, а дробь (2a+1)∶(a-2)=(6+1)∶(3-2)=7∈Z. Значение a=3 подходит.

• a-2=-1.Тогда a=1, а дробь (2a+1)∶(a-2)=(2+1)∶(1-2)=-3∈Z. Значение a=1 подходит.

• a-2=5.Тогда a=7, а дробь (2a+1)∶(a-2)=(14+1)∶(7-2)=3∈Z. Значение a=7 подходит.

• a-2=-5.Тогда a=-3 – не натуральное. Этот случай не подходит.

Ответ: (2a+1)∶(a-2)∈Z, только при a= 1, 3, 7.

Решение. Посчитаем сумму цифр этого числа: S=100·1+100·0+100·2=300. Заметим, что S делится на 3, но не делится на 9. Но, как известно, если квадрат числа делится нацело на p, где p — простое число, то квадрат этого же числа нацело делится на p в квадрате. Значит, S не может быть квадратом, так как оно делится на 3 и не делится на 9.