Уровень сложности - легкий
Уровень сложности - легкий
Задание. Докажите, что произведение любых трех последовательных чисел делится на 6.
Решение. Заметим, что из трех последовательных чисел хотя бы одно будет четным (так как четные и нечетные числа чередуются и трех подряд нечетных чисел не бывает). Также можно заметить, что одно из трех последовательных чисел делится на 3. Значит, если в произведении есть число, кратное трем, и число, кратное двум, то произведение делится на 6 .
Задание. Два восьмизначных числа отличаются перестановкой цифр. Может ли их разность быть равной 20072008?
Решение. У обоих исходных восьмизначных чисел совпадают остатки от деления на 9 (они совпадают с остатками сумм цифр этих чисел, а цифры этих чисел по условию одинаковы). Тогда разность этих чисел должна быть кратна 9, а число 20072008 не делится на 9.
Ответ: нет
Задание. Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1. Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
Решение. Среди данных чисел не больше одного чётного, иначе чётные числа будут иметь общий делитель, равный 2. Если чётное число среди них ровно одно, то сумма всех шести чисел нечётна, и, тем самым, не равна 34. Следовательно, все шесть чисел должны быть нечётны. Найдём сумму первых шести нечётных чисел, не имеющих общих делителей: 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 40. Это число больше 34, тем самым, сумма не может быть равна 34.
Ответ: нет