Определение. Число q называется частным, а число r – остатком от деления a на b.

Если r=0, т. е. a=b· q, то a делится на b.

Определение. ∀a можно разделить с остатком на любое число b≠ 0, а именно найдутся такие два числа q и r, что a=b· q+r, и при этом будет выполнено неравенство 0⩽ r< |b|.

Задание 1. Определить делится ли число 107 на 3, не выполняя деление.

Решение. Число 107 не делится на 3. В этом можно убедиться, записав сумму цифр числа 107 (признак делимости на 3). Тем самым результат деления представим по вышеизложенной формуле следующим образом: 107=353+2, где 35 – частное, а 2-остаток.

Задание 2. Выполним деление числа 108 на 3.

Решение. Предположим, признак делимости на 3 неизвестен, тогда воспользуемся делением уголком:

Данное разложение по формуле будет представимо в виде: 108=3· 36+0 или 108=3· 36.

При делении как положительных, так и отрицательных целых чисел важно придерживаться следующего алгоритма:

1. Найти модули делимого и делителя.

2. Разделить модуль делимого на модуль делителя (если выбран способ деления уголком) или воспользоваться признаком делимости.

3. Так как рассматриваются все возможные комбинации делимого и делителя, которые представлены как положительными, так и отрицательными целыми числами, то:

a) в случае, если делитель является отрицаемым числом - записывают число, противоположное полученному неполному частному. Эти числа и будут являться искомым частным и остатком от деления.

b) в случае, если делимое является отрицательным числом, то записывают число, противоположное полученному неполному частному и вычитают из него единицу. Вычисленное число является неполным частным, а остаток находят по следующей формуле r=a-b·q

c) во всех остальных случаях числа, полученные при вычислении уголком, и будут являться искомым частным и остатком от деления.