Уровень сложности - средний
Embedded Files
Задание. Доказать, что если целое число a не делится на 3,то число a2=3p+1.
Решение. Предположим, что a не делится на 3. Тогда возможны остатки: 1 и 2
Если r=1,то: a=3m+1,m∈ N, тогда a2=(3m+1)2=9m2+6m+1=3(3m2+2m)+1=3p+1, p=3m2+2m – натуральное число.
Если r=2,то: a=3m+2=3(m+1)-1=3k-1, k=m+1∈ N, тогда a2=(3k-1)2= 9k2-6k+1= =3(3k2-2k)+1= 3p+1, p=3k2-2k – натуральное число.
Задание. Найдите все n∈ Z, при которых дробь a=(n5+3)∶ (n2+1) является целым числом.
Решение. Представим данную дробь в следующем виде:
Так как по условию а-целое число, и соответственно целая часть дроби- целое число, тогда и дробная часть - целое число. Лишь такие целые числа как:-3,-1,0,1,2 – удовлетворяют условию.
Ответ: -3,-1,0,1,2
Задание. Докажите, что данная n5+4n дробь делится на 5 при любом натуральном n.
Решение. Разложим на множители: n5+4n=(n4+4)· n. Тогда при n∶3 это выражение делится на 5. Рассмотрим таблицу остатков от деления на 5 (кроме случая, когда n кратно 5):
Заметим, что будет во всех случаях один из множителей исходной дроби дает остаток 1+4=5 при делении на 5, то есть будет делиться на 5. Значит, и все выражение будет делиться на 5 при любом натуральном n.
Page updated
Google Sites
Report abuse