Уровень сложности - высокий
Embedded Files
Задание. Найти четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.
Решение. Пусть N – искомое число. По условию N = 131k + 112 = 132l + 98, где k и l – натуральные числа. Отсюда 131(k – l) = l – 14. Обозначив k - l = t, имеем l = 131t + 14, N = 132·131t + 132·14 + 98. Поскольку число 132·131 пятизначное, подходит только t = 0, N = 132·14 + 98 = 1946.
Ответ: 1946.
Задание. Сколько существует n∈N, меньших 10000, для которых 2n-n2 делится на 7 ?
Решение. Остатки от деления 2n на 7 повторяются с периодом 3: 2, 4, 1. Остатки от деления n² на 7 повторяются с периодом 7: 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0. Поэтому делимость на 7 зависит только от остатка при делении n на 21. Рассмотрим все случаи (в первой строке таблицы – остатки от деления на 21, в следующих двух – остатки от деления на 7).
Мы видим 6 случаев совпадений (когда n ≡ 2, 4, 5, 6, 10, 15 (mod 21)).
10000 = 476·21 + 4. Поэтому количество "подходящих" чисел равно 476·6 + 2 = 2858.
Ответ: 2858
Задание. Докажите, что для любых натуральных a, b, c найдется такое натуральное n, что n3+an2+bn+c не является точным квадратом.
Решение. Обозначим P(n)=n3+an2+bn+c. Допустим, что значения Р(1), Р(2), Р(3), Р(4) все являются полными квадратами. Тогда Р(3) и Р(1) являются полными квадратами одной четности, следовательно, оба значения дают одинаковый остаток по модулю 4, значит, аналогично .
С другой стороны:
P(1)≡ 1+a+b+c;
P(2)≡ 8+4a+2b+c≡ 2b+c;
P(3)≡ 27+9a+3b+c≡ 3+9a+3b+c;
P(4)≡ 43+a·42+b·4+3≡с.
Значит, P(3)-P(1)≡3+9·a+3·b+c-(1+a+b+c)≡2+8·a+2·b≡2·b+2;
P(4)-P(2)≡c-(2b+c)≡-2b≡2b
Получается, что числа 2·b+2 и 2b одновременно делятся на 4, чего не может быть.
Page updated
Google Sites
Report abuse