Решение. Заметим, что 2²⁰¹²=(2²)¹⁰⁰⁶=4¹⁰⁰⁶

Четыре в любой степени даёт остаток 1 при делении на 3. Это верно потому, что 4 даёт остаток 1 при делении на 3, а при перемножении чисел их остатки перемножаются. Тогда 4 в степени k даёт такой же остаток, что и 1 в степени k равных 1. Поэтому данное число даёт остаток 1 при делении на 3.

Ответ: 1.

Решение. Проанализируем остатки от деления числа 92 в 1, 2 … n степени на число 13:

92 (в степени 1)=13·7+1;

92 (в степени 2)=13·651+1;

…

92 (в степени n)=13·r+1, r∈ N.

Таким образом, остаток от деления числа 97 (в степени 7) на 13 равен 1.

Ответ: 1.

Решение. Для решения задания необходимо вспомнить последовательные степени числа 2:

2¹=2;

2²=4;

2³=8;

2⁴=16;

2⁵=32;

2⁶=64 и т.д.

Как можно заметить, последние цифры у этих чисел повторяются через 4. Поэтому, можно сделать вывод, что последняя цифра числа 2 (в степени k∈Z) определяется только тем, каков ее остаток от деления числа k на 4. Соответственно из равенства 387=96·4+3, замечаем, что остаток от деления числа 387 на 4 равен 3. Следовательно, последняя цифра данного числа - восемь.

Ответ: 8.