DEFINICIÓN Y NOMENCLATURA

Sea f(x) una función real de variable real definida en un intervalo cerrado [a, b]⊆R. Se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada es f(x) en dicho intervalo.

F(x) es primitiva de f(x) ⇔ F' (x) = f(x) ∀x ∈ [a, b]

Si F(x) es una primitiva de f(x), se cumple que:

∫f(x) dx=F(x)+C, C∈R

Es decir, basta con sumar una constante a una primitiva para tener otra primitiva de la misma función. Para los infinitos valores que puede tomar dicha constante, se tiene una familia de infinitas funciones cuya derivada es f(x). Así pues, cuando se requiera la integral indefinida de una función no habrá que olvidarse de sumar la constante C para tener un conjunto de infinitas primitivas.

A la función f(x) que determina una integral indefinida se le conoce como función integrando.

A la expresión  ∫f(x)⋅dx se la llama también integral indefinida o, simplemente integral de f(x). Por esta razón, al cálculo de primitivas se le suele llamar cálculo de integrales o integración.

PROPIEDADES

A continuación se enuncian unas propiedades que cumplen las integrales indefinidas para que se apliquen cuando sea conveniente o necesario en el cálculo de primitivas.

1. La integral de 0 es una constante.

La integral de f(x) = 0 es una constante.
∫ f(x)  dx = ∫ 0  dx = 0 + C = C

2. La integral del producto de un escalar por una función es igual al escalar por la integral de la función.

Sea f(x) una función definida en R, y α∈ R, entonces la integral de α·f es igual al escalar α por la integral de la función:

∫ α ⋅ f(x)   dx = α ⋅ ∫ f(x)   dx

3. Aditividad de la integral respecto al integrando.

La aditividad de la integral respecto al integrando significa que la integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las dos funciones sumando.

Sean f: D ⊆ R → R y g: ⊆ R → R integrables, entonces, la función suma (f+g) es integrable y verifica que:

∫ [f(x) + g(x)] ⋅ dx = ∫ f(x)   dx + ∫ g(x)   dx

NOTA 1: La resta entre dos funciones integrables también es integrable, pues equivale a sumar f(x) con

la función -g(x), que también es integrable si lo es g(x), por la propiedad 2. La integral se calcula así:

 ∫ [f(x) − g(x)]   dx = ∫ f(x) ⋅ dx − ∫ g(x)   dx = ∫ f(x) − ∫ g(x) 

NOTA 2: Por esta propiedad y la anterior, se tiene que la combinación lineal de funciones integrables es integrable.

∫ [α ⋅ f(x) + β ⋅ g(x)]   dx = α ⋅ ∫ f(x)   dx + β ⋅ ∫ g(x)   dx .

4. La integral del valor absoluto es mayor o igual que el valor absoluto de la integral.

Sea f: D ⊆ R → R, entonces la función valor absoluto de f(x), | f( x ) | también es integrable y su integral es mayor o igual que la integral de f(x) en valor absoluto.

∫f(x) dx ≤∫|f(x)| dx

5. La integral de una función mayor que otra no es inferior a la de la menor función.

Dadas dos funciones g(x) y f(x), tales que g(x)≥f(x) ∀x∈R, entonces la integral de g es mayor o igual que la integral de f .

f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ R ⇒ ∫ f(x)   dx ≤ ∫ g(x)   dx

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE PRIMITIVAS. INTEGRALES INMEDIATAS

Integrales inmediatas.

Para calcular una integral es necesario conocer las derivadas de distintas funciones, pues hay que determinar la función cuya derivada es la función integrando de la que se quiere calcular la integral. A la integral indefinida, por ese ejercicio de cálculo, también se le conoce como anti-derivada. Hay que hacer el ejercicio inverso al de obtener la derivada de una función. A partir de este hecho, se puede construir una tabla con las integrales que se conocen de manera inmediata a partir de las derivadas de funciones conocidas. A estas integrales cuya primitiva es fácil de conocer se le llaman integrales inmediatas.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

La tabla de integrales no permite resolver todas las integrales, lo que obliga a explicar métodos alternativos de búsqueda/cálculo de primitivas. Alguno de esos métodos se explica en estas páginas. Todos ellos tratarán de reducir el resultado de la integral original a la resolución de una o varias integrales inmediatas.

Integrales casi inmediatas.

Se puede dar el caso de que una función integrando no admita primitiva de manera inmediata, pero con sencillas operaciones aritméticas pueda acabar resolviéndose la integral mediante su transformación en una integral inmediata o una combinación de integrales inmediatas. Esto se consigue mediante el uso combinado de las propiedades de las integrales y la tabla de inmediatas para poder acabar resolviendo un mayor número de integrales que no aparezcan en dicha tabla como serían las de funciones resultado de sumas, productos de escalares por una función, o combinaciones lineales de las funciones, por ejemplo.

Suma de integrales inmediatas:
∫[f(x)+g(x)] dx = ∫f(x) dx+∫g(x) dx.

Ejemplo

∫[ex +cosx] dx=∫ex  dx+∫cosx dx=ex +C1 +senx+C2 =ex +senx+C

La función integrando de la siguiente integral es una función que no está en la tabla, pero es el resultado de la suma de dos que sí lo están. Se utiliza el hecho que la integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones sumando 

Producto de un escalar por una integral:

∫[α⋅f(x)]⋅dx = α⋅∫f(x)⋅dx

∫e^(3x)  dx = 3⋅∫e^(3x)  dx = (1/3)⋅∫3⋅e^(3x ) dx = (1/3)⋅e^(3x) +C

Para resolver esta integral no inmediata basta con multiplicar y dividir por el mismo número la integral (multiplicar por 1 hace que no se altere el resultado) para aprovecharse de que la integral del producto de un escalar por una función es igual a dicho escalar por la integral de la función. Se multiplica por 3 y se divide por 3, ya que es el número 3 el que falta multiplicando en el integrando para tener la derivada del exponente.

Combinación lineal de inmediatas: 

∫[α⋅f(x)+β⋅g(x)] dx = α⋅∫f(x) dx +β⋅∫g(x) dx

No hay más que atender a los dos casos anteriores a la vez.

∫[cos(5x)+x⋅e^x^2 ] dx = ∫cos(5x) dx+∫x⋅e^x^2  dx = (1/5)∫5⋅cos(5x) dx+(1/2)∫2⋅x⋅e^x^2 dx = 1/5⋅sen(5x)+1/2⋅e^x^2 +C

(Nota: en las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales de segundo de bachillerato no forma parte de los contenidos ningún método de cálculo de integrales aparte de los descritos anteriormente.)

LA REGLA DE LA CADENA Y EL CÁLCULO DE PRIMITIVAS

Redordemos la.derivada de una función compuesta F(x)=g[f(x)] entonces F'(x)=g'[f(x)]·f'(x)

Por tanto ∫g' [f(x)] · f '(x)dx = g[f(x)] + k 

∫cos (x^2 -5x+3)·(2x-5)dx = sen (x^2 -5x+3) + k

VIDEOS (playlist YT Pildoras matemáticas)

Introducción 1

Introducción 2

Operaciones con integrales

Integrales básicas 1

Integrales básicas 2

Integrales básicas 3

Integrales básicas 4

Integrales básicas 5

Integrales inmediatas 1

Integrales inmediatas 2

Integrales inmediatas 3

Ejercicios integrales inmediatas 1

Ejercicios integrales inmediatas 2

Ejercicios integrales inmediatas 3

Ejercicios integrales inmediatas 4

Ejercicios integrales inmediatas 5

Introducción

Integral Definida

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema fundamental del cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo dice que la derivada de la integral de una función es la misma función. Así, la integral de f(x) puede verse como primitiva de esa función. La importancia de este Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Cálculo, reside en dos aspectos:

• Relaciona las dos principales nociones del cálculo, derivación e integración, demostrando que son procesos inversos. Esto significa que si se integra una función continua, al derivarla después se recupera la función original.

• Proporciona un método simple para resolver muchas de las integrales definidas. (Regla de Barrow)

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo o Regla de Barrow

Regla de Barrow (Resumen de integración definida-Regla de Barrow)

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f (x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F (x)de f (x), en los extremos de dicho intervalo.

Procedimiento: 

1.     Dada la función f (x) se halla una primitiva F(x) sin constante.

2.     Se calcula  F(a) y F(b).

3.     Se halla la diferencia F(x) - F(a).

La interpretación geométrica de la regla de Barrow es que calcula el área comprendida entre el eje x y la función f (x) en el intervalo [a, b], pero considerando que si el área está en la parte superior es positiva y si está en la parte inferior es negativa.

Área bajo una curva

Simulación Geogebra del cálculo de áreas bajo una curva 1

Simulación Geogebra del cálculo de áreas bajo una curva 2

Área entre una curva y el eje X

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Área entre dos curvas

Ejercicio 1

Ejercicio 2

TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES RELACIONADAS CON EJEMPLOS

Apuntes INTEGRALDEFINIDAL.pdf