Máster Ingeniería Informática

1.3 TIPOS DE MODELOS Y SUS SIMULADORES

Clasificaciones de tipos de los modelos matemáticos

En función de si tiene variables aleatorias o no:

Determinista: todas las variables de entrada son deterministas y describen la interacción que el entorno ejerce sobre el sistema.
Estocástico: alguna de sus variables es aleatoria y debe ser analizado con técnicas estadísticas.

En función del tiempo:

Estático: el tiempo no juega ningún papel.
Dinámico: el tiempo interviene.

Por supuesto las clasificaciones son ortogonales entre sí.

En modelos de tiempo discreto y modelos de eventos discretos las variables de tiempo discreto cambian su valor en instantes específicos, denominados eventos. Las ecuaciones en diferencias permiten calcular en el instante actual el valor de las variables.

En modelos de tiempo continuo las variables de tiempo continuo, pueden cambian su valor de forma continua.

En modelos de parámetros concentrados la derivada es únicamente respecto al tiempo.

En modelos de parámetros distribuidos hay derivadas respecto a las coordenadas espaciales y también respecto al tiempo.

En las ecuaciones algebraicas ninguna de las variables aparece derivada.
Una ecuación diferencial ordinaria consta de derivadas respecto a una única variable independiente (tiempo o coordenada espacial).
Una ecuación en derivadas parciales consta de derivadas de más de una variable independiente.

Los modelos algebraicos están compuestos únicamente por ecuaciones algebraicas.

Los modelos ODE (Ordinary Differential Equations) se componen únicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias y las derivadas son respecto al tiempo. A su vez se clasifican en ODE implícito y ODE explícito, dependiendo de si es posible o no despejar a un lado de la igualdad las derivadas respecto al tiempo.

Los modelos DAE (Differential-Algebraic Equations) se componen de ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales ordinarias con derivadas respecto al tiempo. A su vez se clasifican en DAE semi-explícito, cuando es posible despejar las derivadas, y DAE implícito, cuando no es posible.

Los modelos dinámicos híbridos tienen una parte de tiempo continuo y otra de tiempo discreto o eventos discretos. Normalmente se indica que parte es ODE HÍBRIDO o DAE HÍBRIDO.

Modelos de tiempo discreto

La función de transición de estado, δ, calcula el estado siguiente a partir del estado y entrada actuales:

q_i+1=δ(q_i,x_i)  para i: 0, 1, 2, ...

La función de salida, λ , calcula la salida a partir del estado y entrada actuales:

y_i=λ(q_i,x_i)  para i: 0, 1, 2, ...

Algoritmo simulador para modelo de tiempo discreto que calcula las trayectorias del estado y de salida del modelo a partir de la trayectoria de entrada y del estado inicial:

iFin = 9

x(0) = 1, ..., x(9) = 0

q(0) = 0

i = 0

while ( i <= iFin ) {

    y(i) = λ( q(i), x(i) )

    q(i+1) = δ( q(i), x(i) )

    i = i + 1

Modelos de eventos discretos

Comienza la simulación
Toma el control la rutina de inicialización. Se activa el evento “inicio de la simulación” y se planifica el calendario de eventos.
Toma el control la rutina del tiempo y el reloj avanza al instante en el que se ejecuta el primer evento del calendario, el cual es borrado yactivado tras ejecutarse.
La rutina de eventos puede actualizar variables y añadir o eliminar eventos del calendario. Existe un evento especial denominado “Finalización de la Simulación” que se activa en determinados casos.
Si el evento “Finalización de la Simulación” se ha ejecutado se transfiere el control a la rutina de informes, en caso contrario toma el control la rutina del tiempo.
La rutina de informes muestra el valor de las variables de salida
Fin de la simulación.

Rutina de inicialización: asigna valores iniciales a las variables de estado, inicializa los acumuladores estadísticos y planifica los eventos. Los acumuladores estadísticos son variables intermedias que calcular las variables de salida de la simulación.

Rutina de tiempo: determina cual es el siguiente evento en el calendario de eventos y avanza el reloj de la simulación hasta ese instante.

Rutina de eventos: refleja el flujo de acciones asociadas al evento.

Rutina de informes: calcula y muestra el valor de las variables de salida.

Este procedimiento implica describir globalmente el comportamiento del sistema completo y cuando se aplica a modelos grandes es propenso a errores.

DEVS (Discrete EVent system Specification) se basa en la planificación de los eventos y permite describir el modelo de manera modular y jerárquica.

El modelado orientado a los procesos pretende facilitar la descripción de los modelos siendo más próximo al razonamiento humano. Comenzo a aplicarse en los 70 gracias a la aparición de lenguajes de simulación para modelos de eventos discretos. El modelado se realiza empleando entornos de simulación con interfaces muy intuitivas con menús, diálogos, etc. Estas herramientas se emplean en los modelos estocásticos y las más populares son Anylogic, Arena, AutoMod, etc...

Autómatas celulares

Poseen una estructura regular, todos sus componentes son iguales y el comportamiento de éstos está regido por el mismo conjunto de normas. Cada componente recibe el nombre de célula y el conjunto que forman es el espacio celular.

La distribución de las células puede ser unidimensional, bidimensional o multidimensional.

La tabla de transición de estados de la célula define el nuevo estado de la célula en función de sus entradas y del estado actual.

Un ejemplo de autómata bidimensional es el Juego de la Vida de Conway:

Una célula permanece viva si tiene en su vencidad 2 ó 3 células vivas.
Una célula muere si hay más de 3 células vivas en su vecindad.
Una célula muere si hay menos de 2 células vivas en su vecindad.

Modelos basados en agentes

Metodología de modelado computacional para sistemas complejos. Los sistemas complejos se componen de múltiples elementos individuales interactuantes que cuentan con "fenómenos emergentes". Un ejemplo de propiedad emergente es la autoorganización observada en algunos sistemas, debido a la interacción entre los componentes.

Al modelar es importante distinguir entre el comportamiento a nivel micro y el comportamiento al nivel macro.

El paso del conocimiento en un nivel, al conocimiento en el otro, plantea los dos posibles problemas siguientes:

Comprensión integral. Conocido cómo se comportan los elementos individuales, el objetivo es tratar de obtener el comportamiento agregado.
Comprensión diferencial. Conocido el comportamiento agregado, el objetivo es encontrar qué reglas de comportamiento individual generan dicho comportamiento.

Los agentes son objetos computacionales autónomos, con sus propiedades y reglas de comportamiento individuales, cambiantes en el tiempo.

Las interacciones entre los agentes suponen un intercambio de información, en base al cual los agentes pueden actualizar su estado o realizar acciones.

Los agentes individuales puede llevar un registro histórico y modificar las reglas de comportamiento en base a eventos pasados. Esto quiere decir que pueden aprender.

Se puede observar que:

Reglas individuales pueden generar comportamientos agregados muy complejos
La aleatoriedad en el comportamiento individual puede resultar en un comportamiento global determinista.
Los sistemas puede reorganizarse sin necesidad de que exista un controlador o árbitro central.

NetLogo es una herramienta que proporciona sus propios mecanismos para la definición del modelo. Su lenguaje fue diseñado para ser leído de forma sencilla. Existen los siguientes tipos predefinidos:

Tortugas: agentes móviles, se pueden desplazar.
Baldosas: agentes que no pueden moverse.
Enlaces: agentes conexión entre tortugas.

Cada baldosa puede contener varias tortugas. Además existe el agente de algo nivel observador que puede verlo todo tanto a nivel individual o global, y puede enviar comandos a los agentes.

En NetLogo se distingue entre variables globales y variables de agente, y hay predefinidas acciones para los agentes.

Modelos dinámicos en ecuaciones diferenciales ordinarias

En un intervalo finito sus variables pueden cambiar infinitas veces. Se realiza una discretización termporal.

La resolución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinaria se realiza aplicando métodos de integración numérica. Por ejemplo:

dx/dt=f(x,t)

Siendo t₀el instante inicial de la simulación y la distancia entre dos instantes se llama paso de integración.

El método de integración tiene la forma siguiente:

x_i+1 = F{f(x_i+1), f(x_i), f(x_i-1), …, x_i,x_i-1, x_i-2, …}

La diferencia entre los diferentes métodos de inteegración radica en la forma de F:

Método explícito o implícito
Métodos de paso simple o múltiple
Orden del método

Modelos híbridos

Combinan la descripción de comportamiento de tiempo continuo y de eventos discretos. La parte de tiempo continuo es modelada empleando ecuaciones algebraicas y diferenciales ordinarias, y la parte de eventos discretos empleando ecuaciones en diferencias.

El estado evoluciona por eventos que constan de dos partes:

1. Condición de disparo

2. La acción

Modelos en derivadas parciales

Las ecuaciones en derivadas parciales (PDE) se emplean en la descripción de procesos que suelen estar distribuidos en el espacio y en el tiempo.

Por ejemplo conocer la temperatura de una varilla depende de el instante de tiempo y la posición. Si la función desconocida depende de una única variable el problema se descvribe mediante ODE.

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