Si le Chapitre 5 consistait essentiellement en une théorie des ensembles finis, celui-ci va nous apporter un premier contact formel avec la notion d'ensemble infini, qui est la raison essentielle pour laquelle on s'est sentis obligés de développer une théorie axiomatisée. L'objectif de ce chapitre est double :

• Introduire un axiome supplémentaire qui affirme l'existence d'au moins un ensemble infini, et montrer que cet axiome permet de construire, à l'intérieur de ZF, un nouvel ensemble qui servira de pendant naturel à l'ensemble des entiers intuitifs, et qu'on appellera indifféremment ℕ ou ω .
• Amorcer la démarche qui va consister, dans le chapitre suivant, à construire, à l'intérieur de l'univers, les ensembles de nombres usuels ℤ, ℚ, ℝ, ℂ etc, et montrer que la plupart des objets mathématiques usuels admettent une copie dans le monde des ensembles purs.

A la section 1 on énonce l'axiome de l'infini, dont on donne quelques conséquences immédiates, la plus importante étant l'existence d'un ensemble particulier qu'on appelle ω et qui joue un rôle fondamental en théorie des ensembles. On montre en particulier qu'il est possible d'effectuer des récurrences sur ω , puis que ω est égal à l'ensemble de tous les entiers naturels et que c'est le plus petit des ordinaux infinis.

La section 2 est consacrée à une étude arithmétique de l'ensemble ω. On se sert de nos connaissances sur les ordinaux pour définir les opérations usuelles sur ω , puis on donne une méthode alternative basée sur le principe de la récursion. On montre que la structure ⟨ω, 0, S, +, ×⟩ est modèle de l'arithmétique de Peano, ce qui prouve au passage que ZF démontre la consistance de Peano.

Dans la section 3 on examine un certain nombre de conséquences de l'axiomatique de Peano, ce qui permet de retrouver les principales propriétés de ℕ. A la section 4 on discute du statut un peu particulier du principe de récurrence traditionnel, et on montre qu'il est équivalent, en un certain sens, au fait que ℕ est bien ordonné. On profite alors de l'occasion pour évoquer la question délicate de la standardicité ou de la non-standardicité du modèle ⟨ω, 0, S, +, ×, ≤⟩.

A la section 5 on s'intéresse à la notion de divisibilité dans l'ensemble ℕ, et on définit les nombres premiers. On montre l'existence d'une infinité de nombres premiers, puis l'existence de la décomposition en facteurs premiers pour n'importe quel entier naturel. Enfin, un peu d'arithmétique élémentaire nous amène à l'unicité de ladite décomposition.

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