Probabilità e Statistica
Ingegneria Civile, Amb. Terr. - a.a. 2025-2026, unico canale (dal 4/3/26 al 13/6/26)
Diario del corso [tra parentesi i paragrafi del libro di testo, in rosso le lezioni già fatte,
in azzurro gli argomenti ancora da svolgere, con le date dello scorso a.a.]
4/3 (LEZ IN PRESENZA) Introduzione, sigma algebre, spazi di probabilità, assiomi, proprietà (2.1, 2.2).
6/3 (LEZ IN PRESENZA) Probabilità condizionali, formula di Bayes. Indipendenza di eventi (2.3).
11/3 (LEZ IN PRESENZA) Esercizi su: indipendenza di eventi, probabilità condizionale, formula di Bayes.
13/3 (LEZ IN PRESENZA) Calcolo combinatorio. Estrazioni con e senza rimpiazzo. Schema successo-insuccesso in n prove indipendenti (dipendenti), in ciascuna delle quali la probabilità condizionata del successo è costante (variabile).
18/3 (LEZ IN PRESENZA) Esercizi su: calcolo combinatorio; estrazioni con e senza rimpiazzo, schema binomiale, schema ipergeometrico.
20/3 (LEZ IN PRESENZA) Variabili aleatorie discrete e loro distribuzioni. V.a. di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica (3.1, 3.2).
Distribuzione di Poisson come limite di distribuzione binomiale.
25/3 (LEZ IN PRESENZA) Istante di primo successo in una sequenza di prove indipendenti in ciascuna delle quali la probabilità del succeso è costante.
Distribuzione geometrica e proprietà di mancanza di memoria. Caratterizzazione della v.a. geometrica modificata e geometrica mediante la proprietà di mancanza di memoria (Appendice libro esercizi). Distribuzione di Pascal (istante i-esimo successo).
27/3 (LEZ IN PRESENZA) Densità congiunta di un vettore aleatorio bidimensionale; densità marginali. V.a. indipendenti (3.4).
1/4 (LEZ IN PRESENZA) Densità della somma di v.a. discrete (in particolare somma di v.a. binomiali e di Poisson, indipendenti).
Distribuzione di max(X,Y), min(X,Y) (3.4). Distribuzione del max e min di due v.a. geometriche indipendenti. Distribuzioni composte (cenni).
3/4 (LEZ IN PRESENZA) Esercizi su v.a. Binomiale, Ipergeometrica, Geometrica, Uniforme.
8/4 (LEZ IN PRESENZA) Speranza matematica (o valor medio) di una v.a. discreta e sue proprietà; media di v.a. uniforme, di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica, geometrica, di Poisson, di Pascal (3.5).
10/4 (LEZ IN PRESENZA) Varianza di una v.a. discreta e sue proprietà; momenti di una v.a. Disuguaglianza di Chebicev. Varianza di v.a. di Bernoulli, Binomiale, Geometrica, di Pascal, di Poisson. Covarianza . V.a. correlate e scorrelate.
15/4 (LEZ IN PRESENZA) Varianza di una v.a. Ipergeometrica (formula senza dimostrazione). Esercizi vari su media e varianza.
17/4 (LEZ IN PRESENZA) Due v.a. indipendenti sono scorrelate, ma non è vero il viceversa: esempio di due v.a. scorrelate, ma dipendenti (3.6).
Coefficiente di correlazione e sue proprietà (3.6), Esercizi vari su media, varianza, etc.
Calcoli con densità: calcolo di P( X >Y), P( X = kY), ove X e Y sono v.a. geometriche indipendenti, e k è intero.
22/4 (LEZ IN PRESENZA) Esercizi di preparazione alla I prova di valutazione in itinere (svolgimento problemi anni passati)
24/4 (LEZ IN PRESENZA) Introduzione alle v.a. assolutamente continue; funzione di distribuzione, densità. V.a. uniformemente distribuita in [0,1]. V.a. esponenziale.
29/4 (LEZ IN PRESENZA) Proprietà di mancanza di memoria della distribuzione esponenziale (§ 4); una v.a. X > 0 assolutamente continua ha distribuzione esponenziale
se e solo se gode della proprietà di mancanza di memoria (Appendice libro esercizi). V.a. uniformemente distribuita in [a,b]. Densità di Y = aX+b, Y =X^2, Y = g(X), con g(x) monotona e derivabile. Densità Normale o Gaussiana.
6/5 I prova di valutazione in itinere
7/5 (LEZ IN PRESENZA) Densità Normale o Gaussiana. Densità Gamma. Teoremi di addizione per v.a. indipendenti, Gaussiane e Gamma. Esercizi.
8/5 (LEZ IN PRESENZA) Momenti di una v.a. assolutamente continua. Media,
varianza, covarianza, proprietà (§ 4). Disuguaglianza di Chebicev.
Esercizi su densità di v.a. assolutamente continue unidimensionali. Densità di Cauchy:
un esempio di v.a. ass. cont. sprovvista di valor medio. Distribuzione Chi^2.
13/5 (LEZ IN PRESENZA) Momenti di ordine pari e dispari di una v.a. Gaussiana standard. Quantili. Distribuzione Chi^2. Momenti di una v.a. Gamma.
Formula alternativa per il calcolo della media di una v.a. non negativa. Esercizi con densità per v.a. assolutamente continue unidimensionali.
14/5 (LEZ IN PRESENZA) Vettori aleatori bidimensionali ass. continui: funzione di distribuzione congiunta, densità congiunta. Densità marginali. V.a. indipendenti (§ 4).
X e Y sono indipendenti se e solo se f(x,y)=u(x)v(y). Trasformazione di un vettore aleatorio (X,Y): formula per la densità congiunta di (U,V)= G(X,Y).
15/5 (LEZ IN PRESENZA) Densità di Z = X+Y (formula di convoluzione con dimostrazione) . Verifica che l'integrale su R di exp ( ̶ x^2 /2) / (2π) 1/2 = 1.
Se X ~ Gamma (a,c), Y ~ Gamma (b,c), (X, Y indipendenti), allora X+Y ha densità Gamma (a+b,c) (con dim.). Densità Beta in (0,1).
20/5 (LEZ IN PRESENZA) Densità della somma di v.a. indipendenti, con distribuzione normale (senza dim.). Densità di Z= X+Y, Z= X -Y, Z = aX +bY +c.
Densità del quoziente Z = Y/X e del prodotto Z=XY. Esercizi vari con v.a. continue bidimensionali e unidimensionali.
Densità condizionale e media condizionale di X, dato Y = y, e di Y, dato X = x.
21/5 (LEZ. IN PRESENZA) Convergenza di una successione di v.a., quasi certamente, in probabilità, e in distribuzione.
Legge dei grandi numeri (LGN), applicazioni (§ 5). Il metodo Montecarlo.
22/5 (LEZ. IN PRESENZA) Il teorema limite centrale (TLC) e l'approssimazione normale (§ 5).
Intervallo di confidenza per la media incognita di una distribuzione, di varianza nota, e di cui si conosce la media campionaria.
27/5 (LEZ. IN PRESENZA) Densità di Z = X/(X+Y), ove X e Y sono indipendenti e hanno legge Gamma; se X ~ Gamma (a,c), Y ~ Gamma (b,c),
(X, Y indipendenti), allora Z ha densità Beta (a,b), con supporto in (0,1). Esercizi vari con v.a. continue bidimensionali e su TLC, intervallo di confidenza.
28/5 (LEZ IN PRESENZA) Esercizi vari su TLC (con e senza correzione di continuità), intervallo di confidenza, quantili.
29/5 (LEZ IN PRESENZA) Risoluzione prove di esame anni precedenti.
3/6 II prova di valutazione in itinere.
4/6
5/6 CHIUSURA DEL CORSO.
Non e'stato possibile svolgere i sottoelencati argomenti, come negli a.a. precedenti, per mancanza di tempo.
Retta di regressione.
Funzione di distribuzione di una v.a. Gamma col primo parametro, m, intero (m-Erlangiana) Il processo di Poisson. (§ 4).
Generatori aleatori e simulazione: generatori di numeri pseudo-random con assegnata distribuzione, a partire da
numeri pseudo-random uniformemente distribuiti in [0,1] (§ 4).
Cenni ai vettori Gaussiani bidimensionali (in particolare: le marginali di un vettore Gaussiano sono Gaussiane; v.a. Gaussiane sono indipendenti se e solo se sono scorrelate).