Caos e modelli non deterministici
di Mario Abundo
I fenomeni aleatori ed i processi stocastici sono studiati da quella parte della Matematica che trova collocazione nell' ambito della Teoria della Probabilita'. Ad esempio, i fenomeni metereologici, quali la circolazione dei venti e altri eventi atmosferici sono non deterministici e vanno modellizzati e studiati facendo uso di processi stocastici.
Se cosi' non fosse, non parleremmo di "previsioni" del tempo, ma di "anticipazioni certe". Abbiamo ormai abbandonato la convinzione del determinismo Laplaciano secondo la quale l' evoluzione di un sistema fisico e' perfettamente predicibile, note che siano le sue condizioni iniziali. Si noti che persino i sistemi deterministici possono divenire impredicibili, perturbando anche impercettibilmente le condizioni iniziali; basti pensare ai sistemi instabili e caotici e agli attrattori strani.
Esistono particolari processi aleatori detti "senza memoria". Un sistema viene detto "senza memoria" se il suo stato al tempo t può essere inferito semplicemente conoscendone lo stato all' istante immediatamente precedente. Contrapposti ai sistemi senza memoria sono quelli "con memoria", in cui lo stato attuale del sistema dipende da tutti gli stati successivamente assunti, dall' istante iniziale fino all' istante considerato. Esempi tipici sono il processo di isteresi magnetica per sostanze ferromagnetiche e il processo di deformazione irreversibile di materiali sottoposti a sollecitazioni oltre il limite di elasticita'. E' possibile introdurre tutta una "gerarchia" di processi con proprieta' di perdita di memoria, classificandoli in base alla loro piu'- o meno debole dipendenza dalla storia precedente il tempo t; questa proprieta' viene detta di "Markovianetà". I più- semplici processi stocastici con questa proprietà sono le "catene di Markov". Queste trovano applicazione nella costruzione di modelli stocastici per fenomeni fisici, biologici ed anche economici e sociali. Tra quelli biologici menzioniamo ad es.: modelli compartimentali per dinamica di popolazioni; evoluzione e crescita di cellule tumorali; interazione tra virus e sistema immunitario. Un valido aiuto per testare la validita' di un modello e di predire l' evoluzione del sistema da esso descritto e' fornito dalla simulazione al computer. Lo strumento statistico, poi, permette di studiare l' adattabilita' del modello a situazioni reali, stimandone i parametri incogniti.
I sopra citati modelli sono stati da noi studiati; attualmente, in collaborazione con il Centro V. Volterra e il Dipartimento di Medicina Sperimentale e Sc. Biochimiche, stiamo studiando un modello Markoviano per l' interazione cooperativa in macromolecole proteiche. L' obiettivo principale e' arrivare ad una classificazione delle proteine sulla base del parametro di "cooperativita'" che interviene nella definizione del modello stesso.
Mario Abundo è ricercatore presso il Dipartimento di Matematica.
- W. FELLER: "An Introduction to Probability Theory and its applications" Wiley & Sons , 1968
- M. ABUNDO: "Dio e/o causalità ? Un approccio probabilistico" Nuova Secondaria, n. 9,74-78,1994.
- M. ABUNDO : "Processi non deterministici e sistemi senza memoria: le catene di Markov: Disordine e dimensione frattale" Atti del Convegno "Il fascino discreto della Matematica" - Mathesis,1991, pag . 81- 97.
- M. ABUNDO : "Stochastic models for systems of competing species" Atti del Convegno A.M.A.S.E.S.
- M:ABUNDO : "A stochastic model for protein aggregation" In : topics on Biomathematics,Barbieri et Al. (Editors), 113-118