Matematica I (E-O)
Ingegneria Meccanica e Gestionale
News:
Esiti appello 28/08.
Appelli precedenti:
Esiti prima prova intercorso qui.
Esiti seconda prova intercorso e ammessi all'orale.
Esiti I appello (09/01/2023).
Esiti II appello (02/01/2023).
Esiti appello 10/07.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C.
- Funzioni elementari reali a una variabile: valore assoluto, potenza, radice, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e iperboliche.
- Successioni in R, limiti.
- Proprietà delle funzioni continue.
- Derivate.
- Integrali definiti e indefiniti.
- Serie numeriche.
Programma dettagliato:
14/09/2022: Introduzione al corso. Cenni di teoria degli insiemi. Assiomi dei numeri reali: assiomi relativi alle operazioni, assiomi relativi all’ordinamento. Principio di induzione. Numeri naturali, interi, razionali. Relazioni d'ordine in un insieme. Ordine usuale nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri reali è un insieme totalmente ordinato rispetto all'ordine usuale.
16/09/2022: Esercizi. Minoranti ed estremo inferiore di un insieme di numeri reali: esempi. Massimo e minimo. Assioma di completezza. Introduzione al concetto di funzione e prime definizioni.
21/09/2022: Università chiusa.
23/09/2022: Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni composte. Funzioni monotone. Funzioni periodiche. Funzioni polinomiali e razionali. Funzione valore assoluto. Esercizi.
28/09/2022: Funzioni invertibili e controimmagine. Funzione elevamento a potenza. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Esercizi.
30/09/2022: Funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e loro inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente). Funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica) e loro inverse (settore seno iperbolico, settore coseno iperbolico, settore tangente iperbolica).
05/10/2022: Successioni numeriche: definizioni e prime proprietà. Teorema di unicità del limite di una successione numerica. Successioni limitate: ogni successione convergente è limitata. Limite di successioni numeriche: operazioni con i limiti (somma e prodotto). Successioni numeriche: Teoremi di confronto (teorema della permanenza del segno e corollari).
07/10/2022: Non c'è lezione.
12/10/2022: Teorema dei carabinieri. Limite di una successione limitata per una infinitesima. Limiti notevoli. Successioni monotone: teorema sulle successioni monotone. Il numero di Nepero. Infiniti di ordine crescente. Definizione di limite per funzioni reali. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni: il teorema ponte e le sue conseguenze. Limiti di funzioni composte.
14/10/2022: Limite destro e limite sinistro. Esempi e proprietà dei limiti di funzioni: operazioni con i limiti di funzioni. Limiti fondamentali. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Esercizi sul calcolo dei limiti.
Lezioni 18/10/2022, 19/10/2022, 21/10/2022, 26/10/2022, 28/10/2022 a cura della prof. ssa Isabella Carlomagno.
Argomenti trattati: Funzioni continue. Punti di discontinuità e classificazione dei punti di discontinuità. Teorema di esistenza degli zeri. Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Secondo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Criterio di invertibilità per le funzioni continue. Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse. Il campo dei numeri complessi. Operazioni con i numeri complessi. Operazioni con i numeri immaginari. Forma algebrica dei numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Coniugato e modulo di un numero complesso. Operazioni con i numeri complessi in forma algebrica. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Operazioni elementari sui numeri complessi. Radice n-esime di un numero complesso. Formula di De Moivre. Forma esponenziale dei numeri complessi: formula di Eulero. Esercizi sui numeri complessi. Definizione di derivata. Relazione derivabilità-continuità. Significato geometrico della derivata e della retta tangente. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Esercizi sulle derivate.
02/11/2022: Esercitazione.
04/11/2022: Prima prova intercorso (annullata per allerta meteo).
09/11/2022: Applicazione delle derivate: Teorema di Fermat. Teorema di Rolle.
11/11/2022: Mattina: Teorema di Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti: criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, criterio di stretta monotonia. Derivate di ordine superiore. Funzioni convesse e concave: criterio di convessità. Criterio per lo studio di massimo e di minimo con l’uso delle derivate successive. Asintoti: verticale ed orizzontale. Asintoto obliquo. Teorema di de l’Hôpital. Pomeriggio: Prima prova intercorso.
16/11/2022: Simboli di Landau. Algebra degli o-piccolo. La formula di Taylor: prime proprietà. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano. Sviluppi di Taylor e Mac Laurin e applicazioni. Limiti con Taylor. Punti di non derivabilità e loro classificazione. Massimi e minimi relativi.
23/11/2022: Partizioni di un intervallo. Integrali definiti. Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media integrale. Esercizi studi di funzione.
25/11/2022: Esercizi studi di funzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitiva di una funzione. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per decomposizione in somma.
29/11/2022: Esercizi studi di funzione. Integrazione di funzioni razionali fratte.
02/12/2022: Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti.
07/12/2022: Cenni di geometria analitica. Calcolo aree figure piane. Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Teorema sulla serie a termini non negativi. Serie geometrica.
09/12/2022: Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del rapporto e criterio della radice. Serie a segni alterni. Serie assolutamente convergenti. Teorema sulle serie assolutamente convergenti. Esercizi.
14/12/2022: Esercizi studio di funzione.
16/12/2022: Esercizi integrali e serie.
21/12/2022: Esercitazione.
22/12/2022: Seconda prova intercorso.
NB: Gli argomenti sottolineati sono stati dimostrati.
Esercizi:
Parte I: Principio di induzione e insiemi.
Parte II: Applicazioni e intervalli.
Parte III: Limiti di successioni.
Dimostrazione limite del prodotto qui.
Dimostrazione del criterio di monotonia qui.
Parte IV: continuità, derivabilità e formula di Taylor.
Parte V: studi di funzione. Per cominciare... .
Note sugli integrali di funzioni razionali qui.
Raccolta di esercizi sugli integrali.
Esercitazioni:
Prove intercorso:
I Prova Intercorso (04/11/2022).
II Prova intercorso (22/12/2022).
Prove d'esame:
Suggerimenti orale:
L'esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente/la studentessa deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso. In seguito, le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Nel caso in cui entrambe le precedenti parti vengano superate con successo, si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Tutorati:
Cognomi E-L: iscriversi al team qui.
Cognomi M-O: iscriversi al team qui.
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Riferimenti bibliografici
Testo di riferimento principale: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Libro di esercitazioni: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di Matematica. Vol. 1 parte prima e parte seconda, Liguori Editore.