このモデルは、私と徳島大学の上田先生によって提案されました。このモデルの分岐構造は、上田先生に詳しく調べていただきました。上田先生がおられなければ、この研究は行えませんでした。
このモデルを考えた動機は、非常に単純です。違う時間遅れ項によって作られた非線形項があったら、どんなことが起こるのかを知りたかったのです。広く知られている離散モデルのロジスティック写像とエノン写像の非線形項は、同じ時間遅れ項によって作られています。私たちが提案したモデルは、以下の式です。

xt = a0 + a1 xt-2 + a2 xt-1 xt-3

この式はx, y, zの3変数で表すことが出来ます。リアプノフスペクトラムを計算するときは、以下の式を使います。

xt = a0 + a1 yt-1 + a2 xt-1 zt-1
yt = xt-1
zt = yt-1 = xt-2

この記述の下側に、異なる3つのアトラクタを載せました。個人的にはcase 3のアトラクタが好きです。1つのモデルであるにも関わらず、完全に分離したアトラクタが2つ出現しているところに惹かれます。

This model was proposed by me and Professor Ueta of the University of Tokushima.  The bifurcation structure of this model is examined in detail by Professor Ueta.  This research would not have been possible without him.
The motivation for this model is very simple.  We wanted to know what would happen if there was a nonlinear term composed of different time-delay terms.  The nonlinear terms of the widely known discrete model, the Logistic map and the Hénon map, are composed of the same time-delay term.   The model we propose is the following equation.

xt = a0 + a1 xt-2 + a2 xt-1 xt-3

This equation can be expressed in three variables: x, y and z.  When calculating the Lyapunov spectrum, we use the following equations.

xt = a0 + a1 yt-1 + a2 xt-1 zt-1
yt = xt-1
zt = yt-1 = xt-2

I show three different attractors below this description.   Personally, I like the attractor in case 3.  This is because I am attracted to the appearance of two completely separate attractors, even though these are generated by one model.

Reference

A novel discrete chaotic dynamical system with intriguing periodicity and bifurcation structure

Tomomichi Nakamura and Tetsushi Ueta

International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 35, No. 10, 2530023 (2025)
DOI: 10.1142/S021812742530023X