Родился 26 апреля 1929 года в деревне Городец Рогачёвского района Гомельской области Белоруссии. Белорус. После окончания школы уехал на учёбу и работу в город Минск. В 1950 году окончил Минский автомеханический техникум. С 1950 года трудился на Минском тракторном заводе (МТЗ) помощником мастера, мастером, старшим мастером, заместителем начальника, начальником цеха, заместителем председателя и председателем заводского профессионального союза МТЗ. Член КПСС с 1954 года.

В 1960-65 годах - директор Минского завода запасных частей. В 1962 году окончил Белорусский институт механизации сельского хозяйства. В 1965 года возвратился на МТЗ, но уже в качестве директора предприятия. До 1972 года, работая на ставшем ему родным заводе, стал генеральным директором Минского производственного тракторостроительного объединения.

В 1972-1974 годах - первый секретарь Минского горкома Компартии Белоруссии.

Лауреат Государственной премии СССР 1971 г. за создание и серийное производство унифицированных колёсных, полугусеничных и гусеничных тракторов на основе базовой модели.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 января 1974 года за выдающиеся успехи в выполнении и перевыполнении планов 1973 года и принятых социалистических обязательств бывшему директору Минского тракторного завода Слюнькову Николаю Никитовичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».

В 1974 году отозван в Москву, где был назначен заместителем председателя Государственного планового комитета Совета Министров СССР (Госплан СССР).

В конце января 1983 года, в связи со смертью первого секретаря ЦК Компартии Белоруссии Т.Я. Киселёва, избирается на должность руководителя коммунистов Советской Белоруссии. На его долю выпали трагические события, связанные с аварией на Чернобыльской АЭС.

Пост первого секретаря ЦК Компартии Белоруссии занимал до 6 февраля 1987 года, после чего его вызвали в Москву, где он был назначен секретарём ЦК КПСС, занимая одновременно в 1987-1988 годах должность заведующего Экономическим отделом ЦК КПСС. С 1988 года - председатель Комиссии ЦК КПСС по вопросам социально- экономической политики

Являлся членом Политбюро ЦК КПСС с 1987 по 1990 год (кандидат с 6 марта 1986 года). Избирался депутатом Верховного Совета СССР 7-го (1966-1970), 10-го (1979-1984), 11- го (1984-1989) созывов, народным депутатом СССР (1989-1991). Лауреат Государственной премии СССР (1971).

С 1990 года - на пенсии. Жил в Москве. Умер 9 августа 2022 года.

Награждён 2 орденами Ленина (05.04.1971; 03.01.1974), 2 орденами Трудового Красного Знамени (05.08.1966; 25.04.1979), медалями.