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Trajectories of centers of 'L^p'-depths in case of approval voting for 'n=20' voters and 2 candidates. Each axes corresponds to the grades of each candidate. Each curve gives to the deepest points for a fixed grading matrix, obtained with weighted 'L^p'-depths, with a varying value of 'p', 'p> 1'. The two plot display the same graph, with different colors. On the left, the colour corresponds to the value of 'p'. On the right, the colour is given by the difference of approvals given to candidate 1 ('n_1') and candidate 2 ('n_2'). The graph on the right shows that the winner (when it exists) in the approval voting is the winner given by the 'L^p'-deepest voting, since the deepest points are in the diagonal triangle where the highest coordinate corresponds to the candidate with the highest number of grades 1.

Simulations of the areas under the normalized excursion of 7/4-stable (left) and 3/2-stable (right) Lévy processes without negative jumps.

Soutenue le 6 septembre 2023 devant le jury composé de Lucas Gerin (rapporteur), Igor Kortchemski (rapporteur), Nicolas Broutin, Bénédicte Haas, Alice Guionnet, Emmanuel Jacob et Grégory Miermont.

Cette thèse est divisée en deux parties indépendantes. D'une part, nous nous intéressons à des aspects géométriques de grands graphes aléatoires évolutifs dans le temps. D'autre part, nous étudions les probabilités d'événements très rares pour certaines classes de processus de Lévy.

Dans une première partie, nous introduisons un cadre de travail théorique unifié permettant de définir une notion de limite locale pour des graphes évolutifs, c'est-à-dire des graphes dans lesquels les arêtes aparaissent et disparaissent au cours du temps. Nous montrons pour deux modèles de graphes dynamiques inhomogènes un résultat de convergence locale vers des arbres de Galton-Watson qui croissent et segmentent au cours du temps. Cette nouvelle notion nous permet d'étudier des propriétés asymptotiques de processus évoluant sur ces graphes dynamiques. Nous nous intéressons ici au processus de contact pour lequel nous démontrons des résultats de métastabilité, renforçant des résultats obtenus récemment par E. Jacob, A. Linker et P. Mörters.

La seconde partie constitue une contribution à la très riche étude des principes de grandes déviations (PGD) fonctionnelles des processus de Lévy, pour laquelle nous nous focalisons sur le cas des processus de Lévy α-stables sans saut négatif, où '1<α<2'. Ce travail est motivé par un résultat récent de C. Profeta qui quantifia la queue de distribution logarithmique asymptotique de l'aire sous l'excursion normalisée d'un processus de Lévy α-stable sans saut négatif. Grâce à une approche dû à A. Puhalskii, similaire à la convergence de processus stochastiques, nous établissons un PGD pour les excursions stables. Ce résultat de grandes déviations, que nous obtenons pour la topologie non usuelle M1 de Skorokhod, nous permet de déterminer des équivalents exacts pour les queues de distribution logarithmique asymptotique de certaines fonctionnelles de l'excursion stable telles que l'aire sous l'excursion et le supremum. Par des raisonnements similaires, nous obtenons un PGD également pour les ponts stables.