Esta es la página web del curso Fundamentos de Análisis del Máster en Matemáticas y Aplicaciones correspondiente al año académico 2025-2026. La guía docente oficial de la asignatura se puede ver aquí (English here).
Horario y aula: lunes y miércoles, 14:30h a 16:00h, aula 320, módulo 17 (facultad de Ciencias). Calendario oficial en la web de la Facultad.
Evaluación de la asignatura: la evaluación se compone de los siguientes elementos:
Dos entregas de problemas, cuya mecánica y corrección se explicarán en casa.
Un trabajo breve, a escribir usando la siguiente plantilla. La extensión máxima del texto es de cuatro páginas. Los trabajos se defenderán en una(s) sesión(es) a determinar más adelante.
Un examen, a celabrar el 9/1/2026, en horario de mañana (de 10h a 13h), en una localización a determinar.
La fórmula para la nota N de la asignatura es la siguiente:
N= 5 + (E-7)/2 + 0,1(E1+E2) + 0,3T,
donde E es la nota del examen, E1 y E2 son las notas de las entregas y T es la nota del trabajo y la exposición. La fórmula solo se aplica si la nota del trabajo es mayor o igual que 5 y si la nota del examen es mayor o igual que 7. Las cuatro notas se calculan sobre 10 puntos.
Tutorías: en cualquier momento, contactando antes conmigo. Mi despacho es el 605, módulo 17.
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(7/11/2025). Hoja 2 de problemas revisada para eliminar dos erratas. Hoja 3 de problemas subida.
(20/10/25). Hoja 2 de problemas actualizada.
(22/9/25). Hoja 1 de problemas subida. Sistema de evaluación añadido.
(10/9/25) Web creada.
Materiales
Capítulo 0: repaso de teoría de la medida.
Referencia: Stein y Shakarchi, Real Analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Capítulo 1, secciones 1-4. Capítulo 2, secciones 1-3. Capítulo 6, secciones 1-4.
Ejercicios: cualesquiera sobre las secciones mencionadas.
Capítulo 1: medida y dimensión de Hausdorff. Fractales.
Referencias: Stein y Shakarchi, Real Analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Capítulo 7, secciones 1-3.
Hoja 1 de ejercicios.
Capítulo 2: espacios de Lebesgue.
Referencias: Folland, Real Analysis, capítulo 6.
Hoja 2 de ejercicios.
Capítulo 3: diferenciación. Operadores maximales. Teorema fundamental del cálculo.
Referencias: Duoandikoetxea, Fourier Analysis. Capítulo 2.
Grafakos. Classical Fourier Analysis. Capítulo 2, sección 1.
Stein y Shakarchi, Real Analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Capítulo 3.
De Guzmán, An inequality for the Hardy–Littlewood maximal operator with respect to the product of differentiation bases, Studia Math. 42 (1972), 265–286.
Rudin, Real and Complex Analysis. Capítulo 7, sección 2.
Hoja 3 de ejercicios.
Capítulo 4: transformada de Fourier.
Referencias: Duoandikoetxea, Fourier Analysis. Capítulo 1.
Grafakos. Classical Fourier Analysis. Capítulo 2, secciones 2 y siguientes.
Resumen de temas cubiertos en clase
Lunes, 8 de septiembre: repaso de teoría de la medida. Construcción de medidas, medidas exteriores, premedidas, integrales, medidas con signo, derivada de Radon-Nykodym, teoremas de convergencia.
Miércoles, 10 de septiembre: medida exterior de Hausdorff. Medida de Hausdorff. Dimensión de Hausdorff.
Lunes, 15 de septiembre: el conjunto de Cantor. Funciones Hölder-continuas y funciones Lipschitz.
Miércoles, 17 de septiembre: otros fractales: curva de von Koch, triángulo de Sierpinski, cuadrado de Cantor.
Lunes, 22 de septiembre: conjuntos autosimilares y semejanzas.
Miércoles, 24 de septiembre: dimensión de conjuntos autosimilares. La curva de Peano.
Lunes, 29 de septiembre: espacios Lp. Definición, desigualdad de Hölder, desigualdad de Minkowski, estructura de espacio de Banach.
Miércoles, 1 de octubre: funciones esencialmente acotadas. Funciones convexas: definición y propiedades.
Lunes, 6 de octubre: Rectas de apoyo para funciones convexas. Desigualdad de Jensen. Algunas relaciones entre espacios Lp.
Miércoles, 8 de octubre: Algunos funcionales en Lp. Normas por dualidad. Densidad de funciones simples. El dual para espacios de medida finita.
Lunes, 13 de octubre: Dualidad en Lp, caso general.
Miércoles, 15 de octubre: Espacios estrictamente descomponibles. El dual de L1.
Lunes, 20 de octubre: Variación de una medida. El dual de Linfty.
Miércoles, 22 de octubre: Funciones de distribución. Espacios Lp débiles.
Lunes, 27 de octubre: Interpolación: teorema de Marcinkiewixz.
Miércoles, 29 de octubre: Promedios de funciones. Aproximación de funciones por promedios. El operador maximal sobre bolas: tipo débil (1,1).
Lunes, 3 de noviembre: Teorema de diferenciación de Lebesgue. Maximales sobre bolas y cubos. Aproximaciones de la identidad.
Miércoles, 5 de noviembre: Algunos núcleos conocidos. Cubos diádicos. Martingalas. El maximal de Doob.
Miércoles, 12 de noviembre: El maximal fuerte. Cubos diádicos en R^2.
Lunes, 17 de noviembre: Maximales fuertes con bases de diferenciación generales. Productos de más de dos bases.
Miércoles, 19 de noviembre: Funciones absolutamente continuas y de variación acotada. El teorema fundamental del Cálculo.
Lunes, 24 de noviembre: La clase de Schwartz S. Convergencia en S. Distribuciones. Distribuciones temperadas.
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Lunes, 1 de diciembre: La transformada de Fourier en S. Propiedades. Inversión de la transformada de Fourier. Identidad de Parseval. Identidad de Plancherel.
Miércoles, 3 de diciembre: La transformada de Fourier en L1 y en L2. Desigualdad de Hausdorff-Young. Lema de Riemann-Lebesgue. Transformada de Fourier de una distribución.
Miércoles, 10 de diciembre: Distribuciones y funciones armónicas.
Lunes, 15 de diciembre: Operadores que conmutan con traslaciones. Multiplicadores de Fourier.
Miércoles, 17 de diciembre: curso invitado de David Beltran I.
Jueves 18 de diciembre: curso invitado de David Beltran II.