Esta es la página web del curso Fundamentos de Análisis del Máster en Matemáticas y Aplicaciones correspondiente al año académico 2025-2026. La guía docente oficial de la asignatura se puede ver aquí (English here).
Horario y aula: lunes y miércoles, 14:30h a 16:00h, aula 320, módulo 17 (facultad de Ciencias). Calendario oficial en la web de la Facultad.
Evaluación de la asignatura: la evaluación se compone de los siguientes elementos:
Dos entregas de problemas, cuya mecánica y corrección se explicarán en casa.
Un trabajo breve, a escribir usando la siguiente plantilla. La extensión máxima del texto es de cuatro páginas. Los trabajos se defenderán en una(s) sesión(es) a determinar más adelante.
Un examen, a celabrar el 9/1/2026, en horario de mañana (de 10h a 13h), en una localización a determinar.
La fórmula para la nota N de la asignatura es la siguiente:
N= 5 + (E-7)/2 + 0,1(E1+E2) + 0,3T,
donde E es la nota del examen, E1 y E2 son las notas de las entregas y T es la nota del trabajo y la exposición. La fórmula solo se aplica si la nota del trabajo es mayor o igual que 5 y si la nota del examen es mayor o igual que 7. Las cuatro notas se calculan sobre 10 puntos.
Tutorías: en cualquier momento, contactando antes conmigo. Mi despacho es el 605, módulo 17.
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(22/9/25). Hoja 1 de problemas subida. Sistema de evaluación añadido.
(10/9/25) Web creada.
Materiales
Capítulo 0: repaso de teoría de la medida.
Referencia: Stein y Shakarchi, Real Analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Capítulo 1, secciones 1-4. Capítulo 2, secciones 1-3. Capítulo 6, secciones 1-4.
Ejercicios: cualesquiera sobre las secciones mencionadas.
Capítulo 1: medida y dimensión de Hausdorff. Fractales.
Referencias: Stein y Shakarchi, Real Analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Capítulo 7, secciones 1-3.
Hoja 1 de ejercicios.
Capítulo 2: espacios de Lebesgue.
Referencias: Folland, Real Analysis, capítulo 6.
Hoja 2 de ejercicios.
Resumen de temas cubiertos en clase
Lunes, 8 de septiembre: repaso de teoría de la medida. Construcción de medidas, medidas exteriores, premedidas, integrales, medidas con signo, derivada de Radon-Nykodym, teoremas de convergencia.
Miércoles, 10 de septiembre: medida exterior de Hausdorff. Medida de Hausdorff. Dimensión de Hausdorff.
Lunes, 15 de septiembre: el conjunto de Cantor. Funciones Hölder-continuas y funciones Lipschitz.
Miércoles, 17 de septiembre: otros fractales: curva de von Koch, triángulo de Sierpinski, cuadrado de Cantor.
Lunes, 22 de septiembre: conjuntos autosimilares y semejanzas.
Miércoles, 24 de septiembre: dimensión de conjuntos autosimilares. La curva de Peano.
Lunes, 29 de septiembre: espacios Lp. Definición, desigualdad de Hölder, desigualdad de Minkowski, estructura de espacio de Banach.
Miércoles, 1 de octubre: funciones esencialmente acotadas. Funciones convexas: definición y propiedades.
Lunes, 6 de octubre: Rectas de apoyo para funciones convexas. Desigualdad de Jensen. Algunas relaciones entre espacios Lp.
Miércoles, 8 de octubre: Algunos funcionales en Lp. Normas por dualidad. Densidad de funciones simples. El dual para espacios de medida finita.
Lunes, 13 de octubre: Dualidad en Lp, caso general.
Miércoles, 15 de octubre: El dual de L1. El dual de Linfty.
Lunes, 20 de octubre: Espacios Lp débiles. Interpolación.
Miércoles, 22 de octubre: Convergencia de promedios. Operadores maximales.
Lunes, 27 de octubre:
Miércoles, 29 de octubre:
Lunes, 3 de noviembre:
Miércoles, 5 de noviembre:
Miércoles, 12 de noviembre:
Lunes, 17 de noviembre:
Miércoles, 19 de noviembre:
Lunes, 24 de noviembre:
Miércoles, 26 de noviembre:
Lunes, 1 de diciembre:
Miércoles, 3 de diciembre:
Miércoles, 10 de diciembre:
Lunes, 15 de diciembre:
Miércoles, 17 de diciembre: curso invitado de David Beltran I
Jueves 18 de diciembre: curso invitado de David Beltra