หน่วยที่ 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1.1 ความหมายของสมการ

สมการ(Equation) หมายถึง ประโยคสัญญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้แสดงว่าสองสิ่งเหมือนกันหรือเทียบเท่ากัน เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ดังตัวอย่าง

2 + 3 = 5

สมการมักใช้เป็นการกำหนดภาวะความเท่ากันของสองนิพจน์ที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เมื่อเราให้ค่าใดๆกับ x สมการนี้จะเป็นจริงเสมอ

x - x = 0

ทั้งสองสมการข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของสมการที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งหมายความว่า สมการจะเป็นจริงโดยไม่ต้องมีการแทนค่าใดๆ ลงในตัวแปร สำหรับสมการต่อไปนี้ไม่ได้เป็นเอกลักษณ์

x - 1 = 2

สมการข้างบนนี้จะไม่เป็นจริงเมื่อแทนค่าอื่นใด แต่จะเป็นจริงแค่เพียงค่าเดียว เราเรียกค่าที่ทำให้สมการเป็นจริงนั้นว่า "คำตอบของสมการ" สำหรับคำตอบของสมการดังกล่าวคือ 1 ดังนั้น สมการนี้สามารถเป็นจริงได้ขึ้นอยู่กับค่าของx นั่นคือการแก้สมการซึ่งเป็นการหาคำตอบของสมการวิธีหนึ่ง เช่น 5-x = 1 มีคำตอบของสมการ คือ 4

2 + 3 = 5 ประโยคนี้เป็นสมการหรือไม่

x + 3 = 4 ประโยคนี้เป็นสมการหรือไม่

x² + 2x + 6 = 0 ประโยคนี้เป็นสมการหรือไม่

แนวการตอบ ทั้งสามประโยคต่างก็เป็นสมการ เพราะเชื่อมประโยคด้วยเครื่องหมาย "เท่ากับ"

ตัวแปร หมายถึง จำนวนที่ยังไม่ทราบค่า หรือจำนวนที่ต้องการหาค่าที่ปรากฏอยู่ในสมการนั้นๆนิยมเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x,y,z

คำตอบของสมการ คือ จำนวนที่แทนลงในตำแหน่งของตัวแปรแล้วทำให้สมการเป็นจริง

สัมประสิทธิ์ของตัวแปร หมายถึง จำนวนคูณอยู่กับตัวแปรนั้น เช่น

y สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y คือ 1

5x สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y คือ 1

การตรวจคำตอบของสมการ เป็นการนำเอาค่าของตัวแปรที่ได้จากการแก้สมการไปแทนในสมการ ถ้าคำตอบของสมการถูกต้อง เมื่อนำไปแทนจะทำให้ค่าทั้งสองข้างของสมการเท่ากัน เช่นตัวอย่างเช่น จงหาคำตอบของสมการ 4x+5 = 17

พบว่าเมื่อเรานำ x = 3 ไปแทนในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง นั่นคือ

4(3)+5 = 17

ดังนั้น x = 3 เป็นคำตอบของสมการ 4x+5 =17

เช่น x² + 2x - 35 = 17

พบว่าเมื่อเรานำ x = 5 และ x = -7 ไปแทนในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง นั่นคือ

เมื่อx = 5 จะได้ 5² + 2(5) - 35 = 0

25 + 10 - 35 = 0

0 = 0

เมื่อ x =-7 จะได้ (-7)² + 2(-7) - 35 = 0

49 - 14 - 35 = 0

0 = 0

ดังนั้น x = 5,-7 เป็นคำตอบของสมการ x² + 2x - 35 = 0

1.2 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คทอสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็นหนึ่งโดยทั่วไปจะกำหนดให้อยู่ในรูปแบบ

ax + b = 0

เมื่อ a และ b เป็นค่าคงที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

เช่น 6x + 4 = 0 เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

5x - 2 = 0 เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

3x + 4y = 0 ไม่เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

x² - 16 = 0 ไม่เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1.3 การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1.3.1 สมบัติการเท่ากัน มีดังนี้

1. สมบัติสมาตร

เมื่อ a และ b แทนจำนวนใดๆ ถ้า a = b แล้ว b = a

เช่น 3 + 5 =8

ถ้ากลับจำนวนทางขวามาไว้ทางซ้ายและจำนวนทางซ้ายมาไว้ทางขวา จำได้เป็น 8 = 3 + 5 สมการก็ยังเป็นจริง เรียกว่า สมบัติสมมาตรของความเท่ากัน

2. สมบัติถ่ายทอด

เมื่อ a,b และ c แทนจำนวนใดๆถ้า a=b และ b=c แล้ว a=c

เช่น ถ้า3+5 = 8 เป็นจริง และ 8 = 4 x 2 เป็นจริง จะได้ว่า 3+5 = 4 x 2 ก็ต้องเป็นจริง สมบัตินี้เรียกว่า สมบัติถ่ายทอดของความเท่ากัน

3. สมบัติการบวก

เมื่อ a,b และ c แทนจำนวนใดๆถ้า a=b แล้ว a+c = b+c สมบัตินี้เรียกว่า สมบัติการบวก ซึ่งกล่าวได้ว่า "เมื่อจำนวนสองจำนวนเท่ากัน ถ้านำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งมาบวกเข้ากับแต่ละจำนวนนั้นแล้ว ผลบวกของทั้งสองย่อมเท่ากัน"

4. สมบัติการคูณ

เมื่อ a,b และ c แทนจำนวนใดๆ ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัตินี้เรียกว่า สมบัติการคูณ ซึ่งกล่าวได้ว่า "เมื่อจำนวนสองจำนวนเท่ากัน นำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งมาคูณเข้ากับแต่ละจำนวนนั้นแล้ว ผลบวกของทั้งสองย่อมเท่ากัน"

5. สมบัติการแจกแจง

เมื่อ a,b และ c แทนจำนวนใดๆ ถ้า c(a+b)= ac + bc

สมบัตินี้เรียกว่า สมบัติการแจกแจง ข้างซ้ายของสมการข้างต้น 2 คูณเข้ากับผลบวกของ x กับ 5 แล้วค่อยนำผลคูณเข้ามาบวก เราจึงกล่าวว่า การคูณด้วย 2 แจกแจงได้ บนการบวกของ x กับ 5 ซึ่งกล่าวได้ว่า "เมื่อจำนวนใดๆ คูณเข้าไปในวงเล็บแล้ว จะทำให้วงเล็บนั้นหายไป" โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว เช่น x - 7 = 0 มี 7 เป็นคำตอบ หรือ 3 + 4y = 11 มี 2 เป็นคำตอบ

1.3.2 วิธีการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ทำได้ดังนี้

1. การแก้สมการที่มีตัวแปรแห่งเดียวในสมการ

การแก้สมการมีหลักการทั่วๆไปดังนี้

(1) แยกเทอมที่มีตัวแปรและค่าคงที่ไว้คนละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

(2) ถ้าสมการที่มีเศษส่วนที่ทำส่วนให้เป็น 1 โดยการนำ ค.ร.น. ของส่วนคูณทั้งสองข้างของสมการ

(3) ถ้ามีวงเล็บให้ใช้สมบัติการกระจายหรือการแจกแจง

(4) ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรให้เป็น 1 ก็จะได้คำตอบของสมการ

2. การแก้สมการที่มีตัวแปรปรากฏอยู่หลายแห่ง

การแก้สมการมีหลักการทั่วๆไปดังนี้

(1) แยกเทอมที่มีตัวแปรค่าและค่าคงที่ไว้คนละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

(2) ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรให้เป็น 1 ก็จะได้คำตอบของสมการ

(3) ถ้าสมการที่มีเสษส่วนให้ทำส่วนให้หมดไปโดยการนำ ค.ร.น. ของส่วนคูณทั้งสองข้างของสมการ

(4) ถ้ามีวงเล็บให้ใช้สมบัติการกระจายหรือการแจกแจง

(5) ถ้ามีตัวแปรอยู่หลายแห่งในพจน์ต่างๆ ให้รวมพจน์ทีมีตัวแปรในแต่ละข้างให้เหลือพจน์เดียวเสียก่อน แล้วใช้สมบัติการบวกหรือสมบัติการลบ เพื่อให้พจน์ที่มีตัวแปรอยู่ข้างเดียวกัน แล้วให้สมบัติการเท่ากันแก้สมการตามขั้นตอนการแก้สมการต่อไป

(6) ถ้าสมการมีค่าคงตัวเป็นทศนิยม อาจทำจำนวนทศนิยมให้เป็นจำนวนเต็มเพื่อจะทำให้แก้สมการง่ายขึ้น

1.4 โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ในการแก้ปัญหาต่างๆ สามารถนำความรู้และวิธีการในการแก้ปัญหาโจทย์สมการมาช่วยในการหาคำตอบของโจทย์ จะทำให้เราสามารถหาคำตอบได้ง่ายขึ้น

ขั้นตอนการแก้ไขโจทย์สมการ

1. อ่านโจทย์ให้เข้าใจ โดยพิจารณาถึงความสัมพันธ์ระหว่าง สิ่งที่โจทย์กำหนด และสิ่งที่โจทย์ต้องการหา

2. กำหนดตัวแปรแทนค่า ในสิ่งที่โจทย์ต้องการหาขึ้นมาหนึ่งตัวแปร

3. สร้างสมการตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดไว้อย่างรอบคอบ

4. แก้สมการ โดยใช้สมบัติการเท่ากันของระบบจำนวนจริง