Осень 2021

На семинаре планируется обсуждение материала необходимого для формализации высшей теории категорий и последующих приложений к высшей геометрии.

В начале планируется введение в модельные категории и симплициальные множества.

Семинар будет иметь «теоретическое» и «практическое» отделения.

В рамках теоретической части семинара будут обсуждаться моноидальные модельные категории, гомотопические (ко-)пределы, симплициальные модельные категории.

Практическая часть семинара будет посвящена гомотопической теории пучков и приложениям абстрактной теории гомотопий в К-теории (работы Квиллена). Кроме того пару встреч мы посвятим приложениям симплициальных техник к гомологиям групп.

Более подробное распределение тем и программу весеннего семестра можно найти в приложенном файле.

Участники семинара приглашаются к созданию докладов по темам заявленным в программе. Если вам уже приглянулась какая-то из тем теоретической или практической части, вы можете выразить своё желание сделать по ней доклад куратору соответствующей секции. Для теоретической части это Лиза Журавлева e-mail: ahertip@gmail.com, для практической части Миша Корнев e-mail: michaelkorneff@gmail.com.

Программа семинара является идейным продолжением летнего семинара по теории гомотопий, но в целом независима от него.

Пререквизиты: курс топологии 1,2 (НМУ) (Фоменко—Фукс до спекральной последовательности Адамса), курс введение в гомологическую алгебру и теорию категорий (примерно первые две главы Гельфанда—Манина).

Семинар является официальным курсом НМУ, научный руководитель курса проф. Д.Б. Каледин.

Зачёт по семинару будет ставиться по итогам собеседования с научным руководителем семинара в конце семестра.

Семинар будет проходить онлайн в 19.20 по понедельникам и пятницам.

Начало занятий в пятницу 10-го сентября

Для включения в рассылку и получения ссылки трансляций пишите Грише Тарояну e-mail: tgv628@yahoo.com. Все оставшиеся вопросы можно также направлять на этот адрес.

Определение замкнутой модельной структуры на категории. Модельные структуры Квиллена (Серра) и Строма (Гуревича) на категории топологических пространств. Модельная структура на N-градуированных цепных комплексах. Характеризации классов морфизмов свойствами поднятия. Раздел 3 Dwyer--Spalinski (стр.  12--17).

Определение локализации категории в широкой подкатегории. Определение цилиндра и объекта путей в модельной категории. Отношение левой и правой гомотопности. Свойства левых и правых гомотопий. Связь левой и правой гомотопии. Существование и явная конструкция гомотопической категории модельной категории. Dwyer--Spalinski (\S 4-6, p. 17-29)

1.Описание классов расслоений и корасслоений в категории ограниченных снизу цепных комплексов над кольцом R (R-Ch). Доказательство свойств поднятия морфизмов. Секвенциальный аргумент малых объектов. Гомотопическое вычисление функтора Ext. (Dwyer--Spalinski p.29--36) 

2. Определение левого и правого производного функтора для функтора из модельной категории. Определение полного производного функтора для функтора между двумя модельными категориями. Вычисление Tor'а как левого производного функтора тензорного произведения. (Dwyer--Spalinski p.40-43)

Производные функторы из модельных категорий. Лемма Кена Брауна. Существование производных функторов и полных производных функторов. (Dwyer--Spalinski p.42--47)

Функторы Квиллена, полные производные функторы функторов Квиллена. Сопряжения Квиллена и 2-категория ModCat. Эквивалентности Квиллена: характеризация. (Hovey p.13--22)

Две модельные структуры на категории функторов из очень малой категории в модельную категорию. Определение гомотопических (ко-)произведений. Примеры применения модельных категорий. Симплициальные кольца (когомологии Андре--Квиллена), рациональная теория гомотопий, локализация в теории гомологий, симплициальная локализация.

Категория Δ, симплициальные множества = предпучки множеств на Δ. Полусимплициальные множества задают триангуляции. Функтор реализации симплициальных множеств. Нерв категории. Классифицирующее пространство категории. Теорема Квиллена B. Теорема Квиллена(--МакКорда) A. Доказательство утверждения BG=K(G,1) с помощью теорем Квиллена.

Конструкция (барицентрического) подразбиения симплициального множества --- функтор sd. Сопряжённая пара (sd-|Ex). Функтор Ex --- эквивалентность Квиллена. Определение гомотопического типа симплициального множества с помощью функтора Ex, независимое от геометрической реализации.

Литература: (Раздел III.4 Goerss, Jardine), страницы 191--199.

Гомотопические копределы, мотивировка. Первые примеры. Симплициальные (топологические) пространства, кофибрантность по Риди, геометрическая реализация. Стягивание гомотопий. Симплициальная замена. (Dugger pp. 1— 16) 

Гомотопические (ко)пределы (пока в категории Top). Конструкция holim'ов. Замена (индексирующей) малой категории, изоморфизм colim'ов. (Dugger pp. 16— 26).

Моноидальные категории. Определение категорий обогащённых над моноидальной категорией. Определение локализации Баусфилда при помощи симплициальной локализации. 

Источники: nlab (monoidal categories, enriched categories) 

Симплициальные категории, локально гомотопически малые симплициальные категории, конструкция гамаков и пространств отображений из гамаков. Источник: Function complexes in homotopical algebra, W.G. Dwyer, D.M. Kan 

Построение симплициальных пространств отображений в относительной категории. Симплициальные/косимплициальные резольвенты.

Симплициальные пространства отображений. Симплициальные резольвенты. Эквивалентность получающихся пространств отображений и конструкции через гамаки. 

Источник: "Simplicial localization of categories" W.G. Dwyer, D.M.Kan 

Построение свободной резольвенты категории, с помощью которой происходит локализация произвольной категории. 

Стягивание гомотопий. Гомотопический копредел в категории Top как геометрическая реализация симплициального топологического пространства. Слабая эквивалентность гомотопических копределов при замене диаграммы. Сравнение colim'ов и hocolim'ов при замене диаграммы. Теорема кофинальности.

Замена индексной категории. Построение "хорошей" диаграммы QX, являющейся кофибрантной заменой в категории Top^I. Hocolim как производный функтор. Гомотопически когерентные отображения. Модельная структура на Top^I.