Orario: Martedì 16:15-18, Giovedì 9:30-11, Venerdì 11:15-13.
Aula: 72.
Referenze:
V. I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti (1979) .
P. Buttà, P. Negrini. Note del corso di Sistemi Dinamici, scaricabili qui.
Diario delle lezioni:
Lezione 1 (02/05/2025): Richiami di alcune proprietà fondamentali di sistemi Hamiltoniani implicate dai seguenti risultati formulati in contesti più generali: formula di Liouville, Teorema della ricorrenza di Poincaré. Teorema della formula della misura microcanonica (enunciato).
Lezione 2 (06/05/2025): Teorema della formula della misura microcanonica (dimostrazione). Paradosso di Zermelo e ipotesi ergodica.
Lezione 3 (08/05/2025): Moto condizionatamente periodico sul toro n-dimensionale; teorema della media: nel caso di frequenze razionalmente indipendenti dimostrazione che della sua proprietà ergodica nella classe di funzioni Riemann-integrabili; ancora nel caso di frequenze razionalmente indipendenti corollario inerente l'uniforme distribuzione (spaziale) di ogni traiettoria di flusso sul toro n-dimensionale.
Lezione 4 (13/05/2025): Moto condizionatamente periodico sul toro n-dimensionale, caso di frequenze razionalmente indipendenti, corollario sul fatto che ogni orbita di flusso è densa. Analisi del caso in cui le frequenze sono razionalmente dipendenti: non validità della proprietà ergodica; in tale situazione: studio dettagliato del caso bi-dimensionale con rappresentazione qualitativa delle orbite. Nozione di reticolo risonante. Teorema: generalizzazione del teorema della media nel caso di r vettori risonanti indipendenti (solo enunciato e idea essenziale di dimostrazione). Introduzione del flusso discreto sul toro n-dimensionale.
Lezione 5 (15/05/2025): Flusso discreto sul torno n-dimensionale indotto dalle traslazioni. Nel caso che il vettore di traslazione e 2pi-greco sono razionalmente indipendenti dimostrazione del teorema della media e suoi corollari (distribuzione uniforme della traiettoria di flusso e densità di ogni orbita nel toro). Studio dettagliato del caso unidimensionale: dicotomia delle orbite (o tutte chiuse o tutte dense) per la rotazione di un certo angolo su S^1. Formula per la frequenza media della cifra k=1,...,9 come prima cifra della della successione 2^n, con n numero naturale, applicando il teorema della media per le traslazioni sul toro 1-dimensionale. Esempio di una funzione che è Lebesgue-misurabile, ma non Riemann-misurabile, per cui non vale la proprietà ergodica puntualmente nello spazio ambiente.
Lezione 6 (16/05/2025): Definizioni di: sistema dinamico metrico, media temporale e media spaziale. Teorema di Birkhoff-Khinchin (solo enunciato). Verifica che per funzioni regolari la media temporale è un integrale primo del moto. Nel caso dello spazio ambiente: compatto di R^n, dimostrazione dell'equivalenza: un sistema è ergodico nella sottoclasse di funzioni C^1 se e solo se il sistema non ammette integrali primi non banali. Dimostrazione di una caratterizzazione di ergodicità.
Lezione 7 (20/05/2025): Interpretazione fisico-probabilistica della caratterizzazione di ergodicità della lezione scorsa come "perdita di memoria in media". Nozione di sistema dinamico metrico decomponibile che risulta essere non ergodico. Definizione di sistema mescolante (dove vale la "perdita di memoria" puntuale). Lemma: se un sistema è mescolante allora è ergodico. Sistema dinamico metrico del gatto di Arnold: sua definizione, proprietà spettrali della matrice associata e analisi qualitativa del flusso.
Lezione 8 (22/05/2025): Dimostrazione che il sistema dinamico associato al gatto di Arnold è mescolante. Introduzione degli esponenti di Lyapunov per tale sistema.
Lezione 9 (23/05/2025): Ulteriori proprietà del sistema dinamico associato al gatto di Arnold: analisi dei punti asintotici nel futuro (nel passato) al punto d'equilibrio del flusso, e loro densità nel toro T^2. Esempio di un sistema ergodico che non è mescolante. Teorema di Oseledets (solo enunciato) che garantisce l'esistenza degli esponenti di Lyapunov. Nozione di sistema caotico.