4. Прямая геодезическая задача

Существуют две важнейшие математические задачи в геодезии, на которых строится бОльшая часть вычислений в геодезии

Прямая геодезическая задача (ПГЗ) - позволяет узнать координаты по параметрам, которые выдает геодезический прибор.

Обратная геодезическая задача (ОГЗ) - позволяет узнать параметры для точки, зная ее координаты.

Звучит немного запутанно, но главное понимать, что ПГЗ и ОГЗ - это что-то "зеркальное". ПГЗ позволяет преобразовать данные "в прямую сторону, а ОГЗ - преобразовать в "обратную" сторону. 

На ПГЗ основана геодезическая съемка, на ОГЗ основан вынос точек в натуру.

Разберемся подробнее:

Условия задачи

Дано:

Координаты точки Т1 (x1,y1,h1)

Дирекционный угол линии Т1-Т2

Горизонтальное проложение D от точки Т1 к Т2

Превышение dH от точки Т1 к Т2 (на рисунке на показано)

Найти: 

Координаты точки Т2 (x2,y2,h2)

Полный вывод формул и решение всех задач, которые я буду разбирать здесь - вы можете самостоятельно найти в интернете. На этом сайте я буду только объяснять саму суть и выкладывать готовые формулы.

Для решения ПГЗ сначала посчитаем приращения координат...

Приращение координат - разница координат между двумя точками.

Например если есть точка 1 с координатами x1=10 y1=5 и точка 2 с координатами x1=20 y1=7, тогда приращения координат будут

dX = x2-x1 = 20-10 = 10

dY = y2-y1 = 7-5 = 2

Вот как это выглядит:

Приращение координат как таковое позволяет на провернуть одну важную штуку...

Зная Координаты первой точки и приращения координат - мы можем получить координаты второй точки по формулам..

X2 = X1 + dX 

Это вполне логично :)

Это я просто напомнил, поскольку понятие приращения координат или "разность координат" разбирается еще в средней школе :)

продолжаем...

В нашем примере приращение координат мы будем считать не через классическую формулу

dX = D * cos(ДУ)

dY = D * sin(ДУ)

Эти две стремные формулы пришли к нам из тригонометрии. И суть этих формул в том, что если посмотреть на наш рисунок чуть с другой стороны, то там можно увидеть прямоугольный треугольник

Обычный наш рисунок:

И чуть измененная схема

А вот эти вот синусы и косинусы нам и позволяют найти катеты этого треугольника, что для нас равносильно нахождению dX и dY

Ну а далее зная приращения - мы находим координаты второй точки:

X2 = X1 + dX

Y2 = Y1 + dY

Что касается третьей координаты - отметки, то там все еще проще

H2 = H1 + dH

dH - это наше привышение, которое обычно известно сразу из измерений

Разберем задачу на примере:

Дано: